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正如标题一样，我们这次的文章有些极限，我们要进行极限挑战，内容是——速通极限。
本文主要会介绍以下内容：
· 什么是极限
· 左极限和右极限
· 极限的四则运算
· 三明治定理（夹逼定理）
· 连续性
· 介值定理
1. 什么是极限
极限标准写法如下：
limx→Af(x)=L\displaystyle\lim_{x\to A} f(x)=L x→Alim f(x)=L
就是说，当 xxx 越来越靠近于 AAA，f(x)f(x)f(x) 的值会越来越靠近于 LLL。
比如说，当你 f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2，xxx 越来越接近 333 的时候，f(x)f(x)f(x) 的值会越来越靠近多少？毫无疑问是 999。所以，我们可以写成 limx→3x2=9\displaystyle\lim_{x\to3}x^2=9x→3lim x2=9。
当然，并不是代表我可以直接带入 f(A)f(A)f(A) 得到 LLL 的值。极限表示的只是一个趋势，有时候当 f(A)f(A)f(A) 没有意义的时候，LLL 的值也能够求出来，比如：
limx→2x2−3x+2x−2\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x-2} x→2lim x−2x2−3x+2
当 x=2x=2x=2 的时候，分母为 000，直接带入明显是不行的。但是，仔细观察会发现你可以进行因式分解：
limx→2x2−3x+2x−2=limx→2(x−1)(x−2)x−2=limx→2x−1=1\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}=\lim_{x\to2}\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-2}=\lim_{x\to2}x-1=1 x→2lim x−2x2−3x+2 =x→2lim x−2(x−1)(x−2) =x→2lim x−1=1
我们只是表示一个趋势，因此 xxx 会趋向于 222，但是没有取到 222！因此，我们因式分解后进行约分是合法的。最后，计算出结果为 111。
当心一点：虽然在极限中，f(x)=x2−3x+2x−2f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}f(x)=x−2x2−3x+2 以及 g(x)=x−1g(x)=x-1g(x)=x−1 计算的结果是一样的，但是不代表两个函数等价。判断函数是否相等，首先应当判断它的定义域是否相等。因为 D(f)=R∖{2}D(f)=R\setminus\{2\}D(f)=R∖{2}，而 D(g)=RD(g)=RD(g)=R，g(x)g(x)g(x) 函数的自变量是可以取到 222 的，而 f(x)f(x)f(x) 不行，但是在极限中，f(x) ⟺ g(x)f(x)\iff
g(x)f(x)⟺g(x)。
顺便一提，所谓极限 lim\limlim，就是来自于英语中的 limitlimitlimit 一词。
2. 左极限和右极限
极限也有左右？当然有。
顾名思义，左极限=在函数左边的极限，右极限=在函数右边的极限。数学意义上，左极限即 x<Ax<Ax<A 时的极限，右极限即 x>Ax>Ax>A 时的极限。
举个例子：f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}f(x)=x1 ，求 x→0x\to0x→0 时的左极限和右极限。
左极限写作 limx→A−f(x)\displaystyle\lim_{x\to A^-}f(x)x→A−lim f(x)。我们可以举例子来看看什么是左极限：
当 x=−1x=-1x=−1 时，f(x)=−1f(x)=-1f(x)=−1
当 x=−12x=-\dfrac{1}{2}x=−21 时，f(x)=−2f(x)=-2f(x)=−2
当 x=−13x=-\dfrac{1}{3}x=−31 时，f(x)=−3f(x)=-3f(x)=−3
当 x=−15x=-\dfrac{1}{5}x=−51 时，f(x)=−5f(x)=-5f(x)=−5
……
可以发现，当 xxx 越来越靠近 000 但还是满足 x<0x<0x<0 的时候，我们的 1x\dfrac{1}{x}x1 会越来越靠近于 −∞-\infty−∞。因此，我们可以写作：
limx→0−1x=−∞\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty x→0−lim x1 =−∞
所以，它在 000 的右边带了个负号，代表它是负的，换言之就是小于 000 时的极限。同理适用于右极限。
右极限写作 limx→A+f(x)\displaystyle\lim_{x\to A^+}f(x)x→A+lim f(x)。我们依旧举例子来看看什么是右极限：
当 x=1x=1x=1 时，f(x)=1f(x)=1f(x)=1
当 x=12x=\dfrac{1}{2}x=21 时，f(x)=2f(x)=2f(x)=2
当 x=13x=\dfrac{1}{3}x=31 时，f(x)=3f(x)=3f(x)=3
当 x=15x=\dfrac{1}{5}x=51 时，f(x)=5f(x)=5f(x)=5
……
可以发现，当 xxx 越来越靠近 000 但还是满足 x>0x>0x>0 的时候，我们的 1x\dfrac{1}{x}x1 会越来越靠近于 ∞\infty∞。因此，我们可以写作：
limx→0+1x=∞\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=\infty x→0+lim x1 =∞
那么，左极限和右极限有什么用呢？我们可以看一看极限 limx→01x\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1}{x}x→0lim x1 的值。
当 x→0−x\to0^-x→0− 时，极限结果为 −∞-\infty−∞；当 x→0+x\to0^+x→0+ 时，极限结果为 ∞\infty∞。很明显，左极限和右极限是不同的。我们假设极限 limx−>Af(x)\displaystyle\lim_{x->A}f(x)x−>Alim f(x) 存在（设为 LLL），那么，当 x→A−x\to A^-x→A− 时，f(x)→Lf(x)\to Lf(x)→L，同理，当 x→A+x\to A^+x→A+ 时，f(x)→Lf(x)\to Lf(x)→L，即左极限和右极限相等。然而，这里，左极限和右极限完全不同，因此，这里极限不存在，记作：
limx→01xDNE\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1}{x}DNE x→0lim x1 DNE
3. 极限的四则运算
你不用为 极限的四则运算 这个话题感到太担忧。相信你的直觉，如下！
limx→Af(x)=M,limx→Bg(x)=N\displaystyle\lim_{x\to A}f(x)=M,\lim_{x\to B}g(x)=Nx→Alim f(x)=M,x→Blim g(x)=N，那么：
对于极限的加法运算，有 limx→Af(x)+g(x)=M+N\displaystyle\lim_{x\to A}f(x)+g(x)=M+Nx→Alim f(x)+g(x)=M+N。
对于极限的减法运算，有 limx→Af(x)−g(x)=M−N\displaystyle\lim_{x\to A}f(x)-g(x)=M-Nx→Alim f(x)−g(x)=M−N。
对于极限的乘法运算，有 limx→Af(x)⋅g(x)=MN\displaystyle\lim_{x\to A}f(x)\cdot g(x)=MNx→Alim f(x)⋅g(x)=MN。
对于极限的除法运算，有 limx→Af(x)g(x)=MN\displaystyle\lim_{x\to A}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{M}{N}x→Alim g(x)f(x) =NM 。
4. 三明治定理（夹逼定理）
你可以随意在超市中看到三明治，可以随意在汉堡店中看到汉堡（这不废话吗 但是这很形象）。这两种物品都是由上下两层面包，中间一些“夹心”构成的。如果你知道，这个在“三明治”中的东西上面有一层面包，下面也有一层面包，那你可以迅速判断出这是其中的“夹心”，即使你很用力地把两片面包夹在一起，中间几乎没有空隙，但是中间“夹心”也在，而且也夹在了这个位置。这是理所当然的。
我们在生活中的判断技巧也可以利用在数学中。如果对于任意的 xxx 都有 g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)\leq f(x)\leq h(x)g(x)≤f(x)≤h(x)，且当 limx→Ag(x)=limx→Ah(x)=L\displaystyle\lim_{x\to A}g(x)=\lim_{x\to A}h(x)=Lx→Alim g(x)=x→Alim h(x)=L，则：
limx→Af(x)=L\displaystyle\lim_{x\to A}f(x)=L x→Alim f(x)=L
这个定理看上去朴素，实际上确实没那么豪华，但是证明第一重要极限的时候需要它。
5. 连续性
5.1. 在一点上连续
我们考虑两个函数：
f(x)=x2−3x+2x−2f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}f(x)=x−2x2−3x+2 以及 g(x)=x−1g(x)=x-1g(x)=x−1
它们唯一的区别就在于定义域中包不包含 x=2x=2x=2，毋庸置疑。但是令人惊奇的是它们在 x=2x=2x=2 时的极限是一模一样的。
不难发现，limx→2f(x)=limx→2g(x)=1\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}g(x)=1x→2lim f(x)=x→2lim g(x)=1，这个已经在上文讨论过了。
但是我们直接带入 x=2x=2x=2 呢？不难发现 limx→2f(x)≠f(2)\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)\neq f(2)x→2lim f(x)=f(2)，但是 limx→2g(x)=g(2)\displaystyle\lim_{x\to2}g(x)=g(2)x→2lim g(x)=g(2)。
更一般化的，有一类函数（假设下面的 h(x)h(x)h(x) 是其中之一），横坐标为一个特定常数 AAA 时，它的图像满足 limx→Ah(x)=h(A)\displaystyle\lim_{x\to A}h(x)=h(A)x→Alim h(x)=h(A)。这类函数的特点，就是在绘制其图像到 x=Ax=Ax=A 时，我们不用把笔从纸面上抬起再挪到 h(A)h(A)h(A) 处或者跳过 x=Ax=Ax=A 时的点，我们称之为 在 x=Ax=Ax=A 处连续。
5.2. 在一段区间上连续
让我们延续上面的定义。
很明显，这里和上面的区别就在于在区间上连续而非一点。
但我们不妨把区间看成一个个点——对于 ∀k∈[a,b]\forall k\in[a,b]∀k∈[a,b]，若 limx→kh(x)=h(k)\displaystyle\lim_{x\to k}h(x)=h(k)x→klim h(x)=h(k)，则称函数 h(x)h(x)h(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 区间内连续。
换言之，你在绘制函数 h(x)h(x)h(x) 的 [a,b][a,b][a,b] 段时用不着抬笔。
6. 介值定理
最后，让我们以介值定理收尾。
我们已经了解了什么叫做连续，（说白了就是绘制图像时不用抬笔）那么在函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 段内连续的前提下，如果 f(a)f(a)f(a) 到 f(b)f(b)f(b) 的区间中，值域在 [A,B][A,B][A,B] 区间内，对于 ∀K∈[A,B]\forall K\in[A,B]∀K∈[A,B]，必然 ∃k\exist k∃k 满足 f(k)=Kf(k)=Kf(k)=K。
证明：因为连续，所以满足，简单的想想都能够知道。
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本文阅读与理解的难度较小，相比往期较容易理解。
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往期话题：
详解函数#1 幂函数、指数函数和对数函数
详解函数#2 三角函数
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参考文献：《普林斯顿微积分》
