一个新的寻找二次函数顶点的方法？

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Ymh
CSP-J一等奖CSP-J二等奖

2026-02-03 09:08:10

发布于：广东

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首先，形如

ax2+bx+cax^2+bx+c

的柿子

要变为

k(x−l)2+r (k,l,r不含x)k(x-l)^2+r\ (k,l,r不含x)

先化简原式

k(x−l)2+rk(x-l)^2+r

=k(x2+l2−2xl)+r=k(x^2+l^2-2xl)+r

=kx2+kl2−2kxl+r=kx^2+kl^2-2kxl+r

那么你就会发现 (因为 (k,l,r不含x)(k,l,r不含x) )

{k=abx=−2kxlkl2+r=c\left\{\begin{matrix}k=a \\bx=-2kxl \\kl^2+r=c \end{matrix}\right.

若 x=0x=0 ，则 y=cy=c 嗯对。。。

否则

{k=ab=−2klkl2+r=c\left\{\begin{matrix} k=a \\ b=-2kl \\kl^2+r=c \end{matrix}\right.

将 k=ak=a 代入方程组

{b=−2alal2+r=c\left\{\begin{matrix}b=-2al \\al^2+r=c \end{matrix}\right.

单独求解①式，得：

l=−b2al=-\frac{b}{2a}

将其带入②式

a×b24a2+r=ca\times \frac{b^2}{4a^2}+r=c

b24a+r=c\frac{b^2}{4a}+r=c

所以

r=c−b24ar=c-\frac{b^2}{4a}

所以

{k=al=−b2ar=c−b24a\left\{\begin{matrix}k=a \\l=-\frac{b}{2a} \\r=c-\frac{b^2}{4a} \end{matrix}\right.

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全部评论 78

  • userId_undefined
    cjdst
    尊贵铂金CSP-S一等奖代码纠察员出题人

    在洛谷看到过你orz

    2026-01-30 来自 广东

    8
  • userId_undefined
    𝓘𝓭𝓬𝓳_𝓎𝓈𝓈✔
    秩序白银快乐小狗

    我们从目标形式 k(x−l)2+rk(x-l)^2+r 出发，和原式 ax2+bx+cax^2+bx+c 做系数匹配，步骤如下：

    1. 展开目标形式
      先把顶点式展开：

    k(x−l)2+r=k(x2−2lx+l2)+r=kx2−2klx+kl2+r\begin{align*} k(x-l)^2+r &= k(x^2-2lx+l^2)+r \\ &= kx^2-2klx+kl^2+r \end{align*}

    1. 与原式对比系数
      将展开式与 ax2+bx+cax^2+bx+c 对应系数相等，得到方程组：

    {k=a（二次项系数相等）−2kl=b（一次项系数相等）kl2+r=c（常数项相等）\begin{cases} k = a \quad \text{（二次项系数相等）} \\ -2kl = b \quad \text{（一次项系数相等）} \\ kl^2 + r = c \quad \text{（常数项相等）} \end{cases}

    1. 解方程组求系数
    • 由 k=ak=a 代入第二个方程：

    −2al=b  ⟹  l=−b2a-2al = b \implies l = -\frac{b}{2a}

    • 把 k=ak=a 和 l=−b2al=-\dfrac{b}{2a} 代入第三个方程：

    a(−b2a)2+r=c  ⟹  b24a+r=c  ⟹  r=c−b24aa\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + r = c \implies \frac{b^2}{4a} + r = c \implies r = c - \frac{b^2}{4a}

    1. 最终结论
      因此，二次函数 ax2+bx+cax^2+bx+c 可以写成：

    ax2+bx+c=a(x+b2a)2+(c−b24a)\boldsymbol{ax^2+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c-\frac{b^2}{4a}\right)}

    对应题目要求的 k(x−l)2+rk(x-l)^2+r 形式，直接对应系数为：

    {k=al=−b2ar=c−b24a\boldsymbol{\begin{cases} k = a \\ l = -\dfrac{b}{2a} \\ r = c - \dfrac{b^2}{4a} \end{cases}}

    ——————

    2026-02-03 来自 浙江

    7
  • userId_undefined
    ༺ཌༀཉི༒始·皇·帝༒༃ༀད༻
    出道萌新时间刺客空间掌握者时空双修者维度操控者俄罗斯套娃大师

    👍

    2026-02-02 来自 广东

    5
  • userId_undefined
    ༺ཌༀཉི༒白·羊༒༃ༀད༻
    出道萌新时空双修者传道者荣耀黄金GESP6级CSP-J一等奖


    这里写错了，是k=ak=a

    2026-02-02 来自 上海

    4
  • userId_undefined
    FanBoys
    荣耀黄金CSP-J一等奖GESP8级勇敢小狗

    提供两种新方法：

    1. 设 y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0)y=f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)，且对称轴为 x=mx=m，则函数 f(x−m)f(x-m) 为偶函数
      根据偶函数的性质，如果 x1+x22=m\dfrac{x_1+x_2}{2}=m，则必有 f(x1)=f(x2)f(x_1)=f(x_2)
      根据二次函数单调性可知，反之依然成立，因此令 ax2+bx+c=cax^2+bx+c=c，则求出两根为 x1=0,x2=−bax_1=0,x_2=-\dfrac{b}{a}，则 m=x1+x22=−b2am=\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a}，把 x=mx=m 代入原二次函数求出 yy 坐标为 ymy_m，则点 (m,ym)(m,y_m) 就是原二次函数顶点。

    2. 求导：令 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c，则求导得到：

    dydx=2ax+b\dfrac{dy}{dx}=2ax+b

    令 dydx=0\dfrac{dy}{dx}=0 就可以得到 yy 取到极值时 xx 的值，即 2ax+b=02ax+b=0，解出 x=−b2ax=-\dfrac{b}{2a}，代回求出极值点 yy 坐标

    2026-02-02 来自 上海

    4
  • userId_undefined
    Xylophone
    传道者荣耀黄金CSP-J一等奖

    给你点赞了虽然不知道啥意思也不会用（

    2026-02-02 来自 广东

    4
  • userId_undefined
    .
    出道萌新11月全勤卷王时空双修者倔强青铜分支·分支解题者字符串·魔法使

    首先，形如

    ax2+bx+c

    的柿子 @Ymh 应该是“式子”

    2026-02-12 来自 上海

    1
  • userId_undefined
    Srobot
    出道萌新时空双修者荣耀黄金勇敢小狗素数猎手CSP-S二等奖

    求大佬看看这个帖子

    2026-02-03 来自 广东

    1
  • userId_undefined
    MuktorFM
    题解仙人荣耀黄金代码纠察员传道者CSP-S一等奖出题人

    神秘但是明天期末考试用不上

    2026-02-02 来自 云南

    1
  • userId_undefined
    凋零风暴
    空间掌握者倔强青铜

    1

    2026-02-02 来自 浙江

    1
  • userId_undefined
    凋零风暴
    空间掌握者倔强青铜

    1

    2026-02-02 来自 浙江

    1
  • userId_undefined
    凋零风暴
    空间掌握者倔强青铜

    1

    2026-02-02 来自 浙江

    1
  • userId_undefined
    XRiaB
    出道萌新时空双修者GESP1级

    牛逼

    2026-02-01 来自 广东

    1
  • userId_undefined
    ༺དༀ༒云栖鹤༒ༀཌ༻
    模拟·模拟练习生进制转换师字符串·魔法使循环·循环打卡人倔强青铜格式·格式排版员

    ⎩
    ⎨
    ⎧
    ​

    k=a
    l=−
    2a
    b
    ​

    r=c−
    4a
    b
    2

    ​

    ​

    ——————

    2026-02-14 来自 安徽

    0
  • userId_undefined
    QZ致远
    倔强青铜空间掌握者I/O·IO入门者循环·循环打卡人数组·数组操作员俄罗斯套娃大师

    2026-02-12 来自 湖南

    0
  • userId_undefined
    小黑子
    题解仙人时空双修者分治·分治练习生快乐小狗进制转换师秩序白银

    nb

    2026-02-12 来自 浙江

    0
  • userId_undefined
    𝓘𝓭𝓬𝓳_𝓎𝓈𝓈✔
    秩序白银快乐小狗

    神奇的传送门

    2026-02-11 来自 浙江

    0
  • userId_undefined
    𝓘𝓭𝓬𝓳_𝓎𝓈𝓈✔
    秩序白银快乐小狗

    dddddd

    2026-02-11 来自 浙江

    0
  • userId_undefined
    69岁阴暗爬行小学生

    987

    2026-02-10 来自 广东

    0
  • userId_undefined
    ​54188官方正版挂壁猴（（（
    出道萌新1月全勤卷王时空双修者快乐小狗位操作忍者秩序白银


    2026-02-09 来自 浙江

    0

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