一个新的寻找二次函数顶点的方法？

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Ymh
CSP-J一等奖CSP-J二等奖

2026-01-29 13:38:02

发布于：广东

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首先，形如

ax2+bx+cax^2+bx+c

的柿子

要变为

k(x−l)2+r (k,l,r不含x)k(x-l)^2+r\ (k,l,r不含x)

先化简原式

k(x−l)2+rk(x-l)^2+r

=k(x2+l2−2xl)+r=k(x^2+l^2-2xl)+r

=kx2+kl2−2kxl+r=kx^2+kl^2-2kxl+r

那么你就会发现 (因为 (k,l,r不含x)(k,l,r不含x) )

{k=abx=−2kxlkl2+r=c\left\{\begin{matrix}k=a \\bx=-2kxl \\kl^2+r=c \end{matrix}\right.

若 x=0x=0 ，则 y=cy=c 嗯对。。。

否则

{k=ab=−2klkl2+r=c\left\{\begin{matrix} k=a \\ b=-2kl \\kl^2+r=c \end{matrix}\right.

将 k=xk=x 代入方程组

{b=−2alal2+r=c\left\{\begin{matrix}b=-2al \\al^2+r=c \end{matrix}\right.

单独求解①式，得：

l=−b2al=-\frac{b}{2a}

将其带入②式

a×b24a2+r=ca\times \frac{b^2}{4a^2}+r=c

b24a+r=c\frac{b^2}{4a}+r=c

所以

r=c−b24ar=c-\frac{b^2}{4a}

所以

{k=al=−b2ar=c−b24a\left\{\begin{matrix}k=a \\l=-\frac{b}{2a} \\r=c-\frac{b^2}{4a} \end{matrix}\right.

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