假如速度是路程的函数

Srobot

2026-01-28 17:12:30

发布于：广东

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在小学及中学阶段，我们认识的都是路程或速度是时间的函数，

即

$s=f(t)\\ v=\frac{ds}{st}=f'(t)$

但如果速度是路程的函数呢？我们该如何据此求出路程关于时间的表达式？

即已知

$v=f(s)$

求

$s=g(t)$

以下是我本人对此的思考。

根据路程和速度的关系，有

$g'(t)=f(g(t))$

解这个函数方程即可。

例如：已知

$v=s+1\\ s_0=t_0=0$

求

$s=f(t)$

则可以列出函数方程组：

$\begin{cases} f'(t)=f(t)+1\\ f(0)=0 \end{cases}$

不难看出

$f(t)=e^t-1$

若拓展为

$v=as+b\\ s_0=t_0=0$

则仍有

$\begin{cases} f'(t)=af(t)+b\\ f(0)=0 \end{cases}$

解得

$f(t)=\frac{b}{a}e^{at}-\frac{b}{a}$

再次拓展：若加速度是路程的函数，又该如何计算路程关于时间的表达式呢？

即已知

$a=f(s)$

求

$s=g(t)$

根据路程与加速度的关系，有

$g''(t)=f(g(t))$

貌似仍然是解函数方程。

还是看例子吧，若

$a=s+1\\ s_0=v_0=t_0=0$

求

$s=f(t)$

则其函数方程组为

$\begin{cases} f''(t)=f(t)+1\\ f'(0)=0\\ f(0)=0 \end{cases}$

有点瞪眼法解不了的样子了……

评论区有大佬来解这个函数方程组吗？

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