#COCR题解 | Force

原题链接：71101.Force

一只Merry

2025-09-07 14:44:19

发布于：上海

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作者的话：

没学物理建议不要做这道题和看本题解。

分析

题目：一个物体静止在水平桌面上，受到 $N$ 个力的作用。对于第 $i$ 个力，已知其大小为 $f_i$ 牛，方向与桌面的夹角为 $x_i\degree$ 。其中， $x_i$ 表示以桌面平面为基准，从水平向右方向逆时针旋转到力的作用方向所形成的角度（例如： $0\degree$ 表示水平向右， $90\degree$ 表示垂直向上， $180\degree$ 表示水平向左， $270\degree$ 表示垂直向下）。试计算该物体所受合力的大小（单位为牛）以及与桌面的夹角（角度值，向下取整）。

要解决这个问题，我们需要将多个力的合成转化为正交分解（水平和垂直方向分别分析），再通过数学运算得到合力的大小和方向。

力是矢量，合成时需分解到水平（ $x$ 轴）和垂直（ $y$ 轴）方向，分别求分力的合力，再合成总合力。

步骤如下：

分解每个力到水平和垂直方向：
对于第 $i$ 个力，利用三角函数分解为水平分量和垂直分量：
- 水平分量： $f_{i,x} = f_i \cdot \cos(\theta_i)$ （ $\theta_i$ 是 $x_i$ 转换为弧度后的值，因为三角函数通常以弧度为参数）；
- 垂直分量： $f_{i,y} = f_i \cdot \sin(\theta_i)$ 。
求水平和垂直方向的合力：
所有力的水平分量之和为总水平合力 $F_x$ ，垂直分量之和为总垂直合力 $F_y$ ：

$F_x = \sum_{i=1}^N f_i \cdot \cos\left( x_i \cdot \frac{\pi}{180} \right)$

$F_y = \sum_{i=1}^N f_i \cdot \sin\left( x_i \cdot \frac{\pi}{180} \right)$
计算合力的大小：
根据勾股定理，合力大小 $F$ 为：

$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$
计算合力与桌面的夹角：
合力与水平桌面的夹角 $\alpha$ （弧度）可通过反正切函数计算：

$\alpha = \arctan\left( \frac{|F_y|}{|F_x|} \right)$

再将弧度转换为角度 ( $\text{角度} = \text{弧度} \times \frac{180}{\pi}$ ），最后向下取整。

注意，这里为了保证 $\pi$ 的精度，使用 acos(-1.0L) 作为 $\pi$ 的值。

代码

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

const double PI = acos(-1.0L);
int n;
double x,f,fx,fy,ans;

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> x >> f;
        fx += f * cos(x * PI / 180.0);
        fy += f * sin(x * PI / 180.0);
    }
    if (fabs(fx) < 1e-12 && fabs(fy) < 1e-12){
        cout << "0 0";
    }else {
        ans = atan2(fy, fx) * 180.0 / PI;
        if (ans < 0) {
            ans += 360.0;
        }
        cout << (long long)floor(sqrt(fx * fx + fy * fy)) << " " << (long long)floor(ans);
    }
    return 0;
}

2025 年 09 月 07 日版本 1

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