积分主要分为定积分和不定积分，它们的计算方法有所不同：
不定积分的计算
不定积分是求一个函数的全体原函数，其结果是一个函数族，一般形式为∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x)dx = F(x) + C∫f(x)dx=F(x)+C（CCC为任意常数，F′(x)=f(x)F^\prime(x)=f(x)F′(x)=f(x)）。常见计算方法如下：
基本积分公式法：
这是最基础的方法，需要记住一些常见函数的积分公式。例如，∫xndx=1n+1xn+1+C\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C∫xndx=n+11 xn+1+C（n≠−1n\neq - 1n=−1），∫1xdx=ln∣x∣+C\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C∫x1 dx=ln∣x∣+C，∫sinxdx=−cosx+C\int \sin xdx=-\cos x + C∫sinxdx=−cosx+C，∫cosxdx=sinx+C\int \cos xdx=\sin x +
C∫cosxdx=sinx+C等。当遇到简单函数时，可直接根据这些公式计算。比如计算∫x3dx\int x^3dx∫x3dx，根据上述公式可得13+1x3+1+C=14x4+C\frac{1}{3 + 1}x^{3+1}+C=\frac{1}{4}x^4+C3+11 x3+1+C=41 x4+C。
换元积分法：
第一类换元法（凑微分法）：若∫f(u)du=F(u)+C\int f(u)du = F(u)+C∫f(u)du=F(u)+C，且u=φ(x)u=\varphi(x)u=φ(x)可导，则∫f(φ(x))φ′(x)dx=F(φ(x))+C\int f(\varphi(x))\varphi^\prime(x)dx = F(\varphi(x))+C∫f(φ(x))φ′(x)dx=F(φ(x))+C。例如计算∫2xcos(x2)dx\int 2x\cos(x^2)dx∫2xcos(x2)dx，令u=x2u = x^2u=x2，则du=2xdxdu =
2xdxdu=2xdx，原积分就变为∫cosudu=sinu+C=sin(x2)+C\int \cos udu=\sin u + C=\sin(x^2)+C∫cosudu=sinu+C=sin(x2)+C 。
第二类换元法：令x=φ(t)x=\varphi(t)x=φ(t)，φ(t)\varphi(t)φ(t)可导且φ′(t)≠0\varphi^\prime(t)\neq0φ′(t)=0，则∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ′(t)dt\int f(x)dx=\int f(\varphi(t))\varphi^\prime(t)dt∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ′(t)dt 。比如计算∫11−x2dx\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx∫1−x2 1 dx，令x=sintx = \sin
tx=sint，−π2<t<π2-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}−2π <t<2π ，dx=costdtdx=\cos tdtdx=costdt，原积分变为∫cost1−sin2tdt=∫dt=t+C=arcsinx+C\int \frac{\cos t}{\sqrt{1 - \sin^2t}}dt=\int dt=t + C=\arcsin x + C∫1−sin2t cost dt=∫dt=t+C=arcsinx+C 。
分部积分法：公式为∫udv=uv−∫vdu\int u dv=uv-\int v du∫udv=uv−∫vdu 。选择合适的uuu和dvdvdv很关键，一般遵循“反对幂指三”的原则（即反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数），前面的函数优先选作uuu，后面的函数与dxdxdx凑成dvdvdv 。例如计算∫xcosxdx\int x\cos xdx∫xcosxdx，令u=xu = xu=x，dv=cosxdxdv=\cos xdxdv=cosxdx，则du=dxdu = dxdu=dx，v=sinxv=\sin
xv=sinx，根据分部积分公式可得∫xcosxdx=xsinx−∫sinxdx=xsinx+cosx+C\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x + C∫xcosxdx=xsinx−∫sinxdx=xsinx+cosx+C 。
定积分的计算
定积分表示的是一个确定的数值，其计算通常借助牛顿 - 莱布尼茨公式∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)∫ab f(x)dx=F(b)−F(a)（F(x)F(x)F(x)是f(x)f(x)f(x)的一个原函数），具体步骤如下：
先求不定积分：运用上述不定积分的计算方法求出f(x)f(x)f(x)的一个原函数F(x)F(x)F(x) 。
再代入上下限求值：将积分上限bbb和下限aaa代入原函数F(x)F(x)F(x)，计算F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a) 。例如计算∫01x2dx\int_{0}^{1}x^2dx∫01 x2dx，先求x2x^2x2的不定积分∫x2dx=13x3+C\int x^2dx=\frac{1}{3}x^3+C∫x2dx=31 x3+C，取C=0C = 0C=0得到一个原函数F(x)=13x3F(x)=\frac{1}{3}x^3F(x)=31
x3，再代入上下限，F(1)−F(0)=13×13−13×03=13F(1)-F(0)=\frac{1}{3}\times1^3-\frac{1}{3}\times0^3=\frac{1}{3}F(1)−F(0)=31 ×13−31 ×03=31 。
此外，对于一些特殊的定积分，还可以利用函数的奇偶性简化计算。若f(x)f(x)f(x)在关于原点对称的区间[−a,a][-a,a][−a,a]上连续：
当f(x)f(x)f(x)是偶函数，即f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x)时，∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx∫−aa f(x)dx=2∫0a f(x)dx 。
当f(x)f(x)f(x)是奇函数，即f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x)时，∫−aaf(x)dx=0\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0∫−aa f(x)dx=0 。
