初一数学期末测试题
我们知道，开方运算可以写成乘方形式，即对于 a≥0a \geq 0a≥0，n≠0n \neq 0n=0，有 an=a1n\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}na =an1 。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
一、简单运算
已知等式 54=Q14\sqrt[4]{5} = Q^{\frac{1}{4}}45 =Q41 ，请求出 QQQ 的立方根的相反数_______________。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
二、进阶证明
求证：对于 a≥0a \ge 0a≥0，n>0n > 0n>0，有
an=ann\sqrt[n]{a} = \sqrt[\sqrt n]{\sqrt[\sqrt n]{a}} na =n n a
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
三、综合应用
已知实数 x,y,nx, y, nx,y,n 满足 x≠0x \neq 0x=0，y>0y > 0y>0，n>0n > 0n>0，且
{3x+y=5−4n2x+5y=10−6n2026x=2026n⋅y1n⋅y−y\begin{cases} 3x + y = 5 - 4n \\[4pt] 2x + 5y = 10 - 6n \\[4pt] \sqrt[x]{2026} = \sqrt[-\sqrt{y}]{ \sqrt[\sqrt{\frac{1}{n}} \cdot \sqrt{\sqrt y}]{ \sqrt[\sqrt{n} \cdot \sqrt{\sqrt y}]{2026} } } \end{cases} ⎩⎨⎧ 3x+y=5−4n2x+5y=10−6nx2026 =−y n1 ⋅y n ⋅y 2026
求 x,y,nx, y, nx,y,n 的值。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
参考答案
一、
Q=5Q = 5Q=5，QQQ 的立方根为 53\sqrt[3]{5}35 ，相反数为 −53-\sqrt[3]{5}−35 。
二、
由根式与指数互化：
an=a1/n\sqrt[n]{a} = a^{1/n} na =a1/n
ann=(a1/n)1/n=a1/(n⋅n)=a1/n\sqrt[\sqrt n]{\sqrt[\sqrt n]{a}} = \bigl(a^{1/\sqrt n}\bigr)^{1/\sqrt n} = a^{1/(\sqrt n \cdot \sqrt n)} = a^{1/n} n n a =(a1/n )1/n =a1/(n ⋅n )=a1/n
因此 an=ann\sqrt[n]{a} = \sqrt[\sqrt n]{\sqrt[\sqrt n]{a}}na =n n a 成立。
三、
由根式方程化简得 x+y=0x + y = 0x+y=0，即 y=−xy = -xy=−x。
代入前两个方程：
{3x+(−x)=5−4n2x+5(−x)=10−6n ⟹ {2x=5−4n−3x=10−6n\begin{cases} 3x + (-x) = 5 - 4n \\[4pt] 2x + 5(-x) = 10 - 6n \end{cases} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 2x = 5 - 4n \\[4pt] -3x = 10 - 6n \end{cases} {3x+(−x)=5−4n2x+5(−x)=10−6n ⟹{2x=5−4n−3x=10−6n
由第一式得 n=5−2x4n = \dfrac{5 - 2x}{4}n=45−2x ，代入第二式：
−3x=10−6⋅5−2x4=10−30−12x4=10−7.5+3x=2.5+3x-3x = 10 - 6 \cdot \frac{5 - 2x}{4} = 10 - \frac{30 - 12x}{4} = 10 - 7.5 + 3x = 2.5 + 3x −3x=10−6⋅45−2x =10−430−12x =10−7.5+3x=2.5+3x
−6x=2.5⇒x=−512-6x = 2.5 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{5}{12} −6x=2.5⇒x=−125
y=−x=512,n=5−2(−512)4=5+564=3564=3524y = -x = \frac{5}{12},\qquad n = \frac{5 - 2(-\frac{5}{12})}{4} = \frac{5 + \frac{5}{6}}{4} = \frac{\frac{35}{6}}{4} = \frac{35}{24} y=−x=125 ,n=45−2(−125 ) =45+65 =4635 =2435
因此 x=−512, y=512, n=3524x = -\dfrac{5}{12},\; y = \dfrac{5}{12},\; n = \dfrac{35}{24}x=−125 ,y=125 ,n=2435 。
