数学

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ღꦿ࿐

出道萌新

2025-12-14 13:13:32

发布于：浙江

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排列数与组合数

排列数

从nn个元素中取出mm个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从nn个元素中取出mm个元素的排列。这样的全部的排列个数，叫做排列数，写作 AnmA^m_n。

组合数

从nn个不同元素中，不停地重复选择mm个元素打一个组合，这样打组合打总数叫做组合数，写作 ∗∗∗∗∗*****。

二项式定理

『(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+Cn2an−2b2+……+Cnkan−kbk+Cnnbn』极长的二项式定理\color{#03BEF4}\mathsf{『(a + b)^n = C^0_na^n + C^1_na^{n-1}b + C^2_na^{n-2}b^2+…… + C^k_na^{n-k}b^k+C^n_nb^n』}\\\scriptsize\mathsf{极长的二项式定理}

##基本概念

二项式展开式：等式右边的多项式叫做(a+b)n(a+b)^n的二项展开式
二项式系数：展开式中的各项系数
项数：二项式总共有n+1n+1项
通项：展开式的第k+1k+1项，记作Tk+1=Cknan−kbkT_{k+1} = C^n_k a^{n-k} b^k
二项式定理性质
二项式系数对称性：展开式中，与首末两项等距的任意两项二项式系数相等
Ckn=Cn−knC^n_k = C^n_{n-k}

二项式系数最大值：

展开式中，最中间那一项（或中间两项）的二项式系数最大

当nn为偶数时，最大二项式系数为Cnn/2C^{n/2}_n
当nn为奇数时，最大二项式系数为Cn(n−1)/2C^{(n-1)/2}_n

二项式系数和

二项展开式中，所以二项式的系数和等于2n2^n,即：
Cnn+Cn1+Cn2+Cn3+⋅⋅⋅+c2n=2nC^n_n+C^1_n+C^2_n+C^3_n+···+c^n_2=2^n
奇数项中二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即：
Cn0+Cn2+Cn4+⋅⋅⋅Cn1C^0_n+C^2_n+C^4_n+···C^1_n

卡特兰数递推式

H(n)=(4n−2/n+1)H(n−1)H(n)=(4n-2/n+1)H(n-1)

H(n)=C2nn−C2nn−1H(n)=C^n_{2n}-C^{n-1}_{2n}
H(n)=1/n+1C2nnH(n)=1/n+1C^n_{2n}
H(n)=4n−2/n+1H(n−1)H(n)=4n-2/n+1H(n-1)

斯特林数字

S(n,m)=m∗S(n−1,m)+S(n−1,m−1)S(n,m)=m*S(n-1,m)+S(n-1,m-1)

『i=0为边界』\color{#FA4129}\mathsf{『i=0为边界』}\\\scriptsize\mathsf{}


S(i,j)=J∗S(i−1,J)S(i,j)=J*S(i-1,J)

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全部评论 1

  • userId_undefined

    cjdstttttt

    时空双修者题解仙人尊贵铂金勇敢小狗CSP-J一等奖出题人

    二项式定理写错了，中间要加.....，否则表示的是展开后只有 55 项，不符合定理

    昨天 来自 广东

    0

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