#创作计划# 整式的运算：从基础到综合

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忘川秋库

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2025-07-28 20:11:31

发布于：浙江

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整式的加减乘除：从基础到综合运算

因式分解帖子
CSP-J数学题专讲

1. 整式的基本概念

整式是由常数、变量及它们的乘积、乘方通过加减运算组合而成的代数表达式。

  • 单项式：仅含乘法运算的整式，如 3x23x^2, −5ab-5ab, 23y\frac{2}{3}y。
  • 多项式：多个单项式的和，如 2x2−3x+12x^2 - 3x + 1。

关键性质：

  • 整式在实数范围内恒有意义（分母不含变量）
  • 运算结果仍为整式（除法可能产生分式）

2. 整式的加减法

2.1 同类项合并

定义：所含字母相同且指数相同的单项式
规则：系数相加，字母部分不变

示例：
4x2y−3xy+2x2y+5xy=(4+2)x2y+(−3+5)xy=6x2y+2xy4x^2y - 3xy + 2x^2y + 5xy = (4+2)x^2y + (-3+5)xy = 6x^2y + 2xy

2.2 去括号法则

括号前为+：直接去掉括号，符号不变
2x+(3y−z)=2x+3y−z2x + (3y - z) = 2x + 3y - z

括号前为-：去括号后每一项变号
3a−(b−2c)=3a−b+2c3a - (b - 2c) = 3a - b + 2c

3. 整式的乘法

3.1 单项式 × 单项式

(3x2)×(−2xy3)=−6x3y3(3x^2) \times (-2xy^3) = -6x^3y^3
口诀：单×单，系数相乘，各项指数相加

3.2 单项式 × 多项式

2a⋅(3a2−b+4)=6a3−2ab+8a2a \cdot (3a^2 - b + 4) = 6a^3 - 2ab + 8a
口诀：单×多，多项式各项遵照3.1×单项式

3.3 多项式 × 多项式

(x+2)(x−3)=x2−x−6(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6
口诀：多×多第一括号各项分别×第二括号各项，注意是每项都×，不是对应项×对应项

常用公式：

  1. (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
  2. (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
  3. (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
  4. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc（这个只是一部分，在因式分解帖子里的公式表里一大堆公式，都要求背）

4. 整式的除法

4.1 单项式 ÷ 单项式

8x4y22x2y=4x2y\frac{8x^4y^2}{2x^2y} = 4x^2y
（老师不一定会教，但是很好用）口诀：
单÷单，系数相除，各项指数相减

4.2 多项式 ÷ 单项式

6a3b−9a2b2+3ab3ab=2a2−3ab+1\frac{6a^3b - 9a^2b^2 + 3ab}{3ab} = 2a^2 - 3ab + 1
多÷单：多项式各项除单项式

4.3 多项式 ÷ 多项式

示例：(x2+5x+6)÷(x+2)=x+3(x^2 + 5x + 6) \div (x + 2) = x + 3（此时一般会将被除多项式因式分解，因式分解帖子也有，但是老师一般在没学因式分解之前，会用多项式的除法竖式计算，但是不便于理解，所以就因式分解就行）
口诀：先分解，再约分

5. 综合运算

5.1 运算优先级

  1. 括号内运算
  2. 乘方
  3. 乘除
  4. 加减

其实是完全遵照整数运算的

示例：
3x⋅(2x+1)2−4x2=12x3+12x2+3x−4x2=12x3+8x2+3x3x \cdot (2x + 1)^2 - 4x^2 = 12x^3 + 12x^2 + 3x - 4x^2=12x^3+8x^2+3x

5.2 常见错误

  1. 符号错误：−2x(3−x)=−6x+2x2≠6x+2x2-2x(3 - x) = -6x + 2x^2≠6x+2x^2
  2. 漏项：(x+1)(x+2)≠x2+2(x + 1)(x + 2) \neq x^2 + 2
  3. 指数混淆：x2⋅x3=x5≠x6x^2 \cdot x^3 = x^5 \neq x^6

6. 应用与练习

6.1 几何中的应用

矩形面积计算：(2x+3)(x−1)=2x2+x−3(2x + 3)(x - 1) = 2x^2 + x - 3这个比较简单，直接拆开再合并

6.2 习题

  1. 计算：(3a−2b)2(3a - 2b)^2
    答案：9a2−12ab+4b29a^2 - 12ab + 4b^2
  2. 化简：2x2−[3x−(4x2−5x)]2x^2 - [3x - (4x^2 - 5x)]
    答案：6x2−8x6x^2 - 8x
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