#创作计划# 数学中的“拆解艺术”

userId_undefined

忘川秋库

小有名气7月全勤卷王集训营话痨荣耀黄金题解仙人传道者

2025-08-07 14:27:59

发布于：浙江

2889阅读
0回复
0点赞

感谢AC君，让帖子的a不被*
此帖建议有一定整式的加减乘除基础者阅读（即5年级以上）（整式运算帖子，这也是精华帖）
根式运算
二次方程
CSP-J数学真题讲解

（赞赞跟上）

附1

支线故事的起因是这样的（你们往下翻评论还能看到）


7/11 上午11点左右写：
左括号已经解出来是二项式定理标准形式（上面的公式表格里提到过），结果为 (a−b)2025(a-b)^{2025}，右括号看是我先想出来还是先有高人指点（作者只是个6升7的小初生）

7/11 下午15点半左右写：
好好好已经解出来了，根本不需要高人指点好吧 （特别鸣谢：湖北明心数学6升7B班讲师董老师）
过程大概如下

解：
左括号=∑i=02025(2025i)(−1)ia2025−ibi=(a−b)2025=\sum_{i=0}^{2025} \binom{2025}{i}(-1)^i a^{2025-i}b^i = (a-b)^{2025}（一眼二项式定理）
  ~~
右括号有点麻烦，因为@不会C++的noah说不要(−1)j(-1)^j，但我感觉要还简单一点怎么回事
第一步，先不管连成符号ΠΠ，优先计算每一个对于ΠΠ来说的ii，∑j=02i(2ij)a2i−jbj=(a+b)2i\sum_{j=0}^{2^i} \binom{2^i}{j}a^{2^i-j}b^j = (a+b)^{2^i}
第二步，把连城符号ΠΠ乘进来，得到∏i=02025(a+b)2i=(a+b)∑i=020252i\prod_{i=0}^{2025}(a+b)^{2^i} = (a+b)^{\sum_{i=0}^{2025}2^i}
那接下来将会是一场酣畅淋漓的公比为二等比数列求和（在那个右括号指数上），指数为1+2+4+8+...+220251+2+4+8+...+2^{2025}， 有五年级文凭的人应该都知道是22026−12^{2026}-1
  ~~
那最后一步自然就是写成因式分解形式，即左右括号乘积
(a−b)2025(a+b)22026−1(a-b)^{2025} (a+b)^{2^{2026}-1}
作者武汉滴

未更完，上次更新时间2025/7/10下午

引言：

数学历史：古希腊数学家丢番图在《算术》中首次提出因式分解思想
核心概念：用乘法逆向思维简化复杂多项式（在分式计算中会作为工具性的东西经常使用）
现实意义：密码学、工程优化、计算机算法等领域的基础工具
作者OS  ~~：看到人教八年级课本上没讲很细致，再来讲一讲吧，反正闲着也是闲着。
注意：作者只是个6~7的蒟蒻，只是在湖北明心学因式分解板块快学吐了，于是破大防，写下文章
作者再次OS：这个题不会做但是依然有感而发而写下全文

第一章 因式分解基础

1.1 基本定义与原理

数学定义（这个作者查阅了一下资料）：因式分解（Factorization）是代数学中的一种基本运算，指将一个多项式（或整数）表示为若干个因式（因子）的乘积形式。其核心思想是“拆解”——将复杂的表达式转化为更简单的组成部分的乘积，从而便于进一步的计算、求解或分析。

例1：

因式分解过程：x2−x−6→(x+2)(x−3)x^{2} - x - 6 \rightarrow (x + 2)(x - 3)
整式乘法过程：(x+2)(x−3)→x2−x−6(x + 2)(x - 3) \rightarrow x^2 - x - 6
即两种运算互为逆运算看到没有，一定不能搞混两种概念，否则一分拿不到。

1.2 因式分解的方法

因式分解方法 举例
提公因式法 ab−ac=a(b−c)ab-ac=a(b-c)
公式法 11 即完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2a^2±2ab+b^2=(a±b)^2
公式法 22 即平方差公式 a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b)
公式法 33 即立方差公式 a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
公式法 44 即立方和公式 a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
公式法 55 即三项和的平方公式 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2
公式法 66 即完全立方和公式 a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3
公式法 77 即完全立方差公式 a3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)3a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3
十字相乘法 x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2+5x+6=(x+2)(x+3)
拓展知识：二项式定理 计算(a+b)4,(a+b)5(a+b)^4,(a+b)^5观察各项系数，再把正号换成负号，重新计算

拓展公式如果你一直往下算你会发现系数呈杨辉三角，把正号换成负号后你会发现奇数项前符号为+，偶数项前符号为-
不会有人来抄公式吧

注意※：

  1. 立方和差公式中，前-后+，前+后-
  2. 立方和差公式中，没有二倍项
  3. 完全立方差中，系数符号为+-+-...
  4. 三项完全平方和中如有负号,如 (a+b−c)2(a+b-c)^2 情况，请注意符号的变化

第二章：提公因式法

2.1公因式的定义及找到两单项式之公因式之方法

公因式的定义：

找到一个单项式 PP ，使 PP 能被单项式 AA 和单项式 BB 所除尽（即没有余式），则称PP为 AA 和 BB 的公因式。

找到两个或多个单项式的公因式的方法

例2： 找到−12a2b13c-12a^2b^{13}c 与 15ab5c1215ab^5c^{12}的公因式
解：
1.找 PP 的系数：两单项式之系数之最大公约数，即 33，不考虑负号。
2. 确定每一个字母的次数
  ~~ (1)字母 aa 的次数：单项式 AA 中 aa 的次数为 22 ，单项式 BB 中 aa 的次数为 11 ，取次数之较小值，所以 PP 中 aa 的次数取 11。
  ~~ (2)字母b的次数：单项式 AA 中 bb 的次数为 1313 ，单项式 BB 中 bb 的次数为 55，取次数之较小值，即 55 ，所以 PP 中 bb 的次数为 55 。
  ~~ (...)以此类推
3.写下 PP ：3ab5c3ab^5c

着重注意※：如题目给出的是一个多项式，且该多项式首项带负号，则在找公因式时通常保留负号

例3： 找到多项式−12a2b13c+15ab5c12-12a^2b^{13}c+15ab^5c^{12}的公因式
此时 PP 为−3ab5c-3ab^5c。

提公因式方法

例4： −12a2b13c+15ab5c12-12a^2b^{13}c+15ab^5c^{12}
1.找到公因式−3ab5c-3ab^5c
2.用该多项式的每一项除以对应公因式−3ab5c-3ab^5c

  ~~(1)−12a2b13c−3ab5c=4ab8\frac{-12a^2b^{13}c}{-3ab^5c}=4ab^8

  ~~(2)15ab5c12−3ab5c=−5c11\frac{15ab^5c^{12}}{-3ab^5c}=-5c^{11}

3.将得到的两个单项式相加并乘上公因式
得到：−3ab5c(4ab8−5c11)-3ab^5c(4ab^8-5c^{11})，即题目答案

章节笔记：





作者再次再次OS： 看到上面的水印没有，别想拿走

第三章：公式法在因式分解中的应用

3.1平方差公式在因式分解中的应用

例5： 分解因式a2−b2a^2-b^2
解：原式=(a+b)(a−b)(a+b)(a-b)
是不是很简单，直接套公式，那我们再来一题

例6： 分解因式a4−b4a^4-b^4
解：原式=(a2)2−(b2)2(a^2)^2-(b^2)^2
=(a2+b2)(a2−b2)=(a^2+b^2)(a^2-b^2)注意※： 第二个因式分解不彻底
=(a2+b2)(a+b)(a−b)=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)

3.2完全平方公式在因式分解中的应用

例7： 分解因式a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2
解：原式=(a−b)2(a-b)^2

很简单对吧，那就再来一题

例8： 因式分解a4−2a2b2+b4a^4-2a^2b^2+b^4
阁下如何应对？？？
妙计：解：原式=(a2−b2)2(a^2-b^2)^2注意※： 因式分解不彻底
=[(a+b)(a−b)]2=[(a+b)(a-b)]^2注意※： 因式分解结果不应带中括号(或大括号)
=(a+b)2(a−b)2=(a+b)^2(a-b)^2此步骤理由※： 积的乘方，指数分配到每一个因数（或因式）中

3.3立方公式在因式分解中的应用

例9： 因式分解 a3−b3a^3-b^3
这道题确实很简单，所以给大家判断 44 种解法
解1：原式=(a+b)(a2−2ab+b2)(a+b)(a^2-2ab+b^2)
解2：原式=(a−b)(a2+2ab+b2)(a-b)(a^2+2ab+b^2)
解3：原式=(a−b)(a2−ab+b2)(a-b)(a^2-ab+b^2)
解4：原式=(a−b)(a2+ab+b2)(a-b)(a^2+ab+b^2)
那么，请各位判断哪一个正确。
很明显只有解4正确，错误原因分析
解1：前-后+，没有2倍项
解2：没有二倍项
解3：前-后+
解4：正确
这里作者平常这样记：前面因式中的符号是原式的符号，后面括号的中间项的符号，和原式符号相反，但是这句话课本上没有，所以知道就好：前括号是符号位，后括号中间项相反符号位
因为这里例题没有立方和公式，所以大家就自己悟吧，后面的混合分解会有

例10： 分解因式a6−b6a^6-b^6
这里给大家看两种正确解法
解1：原式=(a2)3−(b2)3=(a^2)^3-(b^2)^3
=(a2−b2)(a4+a2b2+b4)=(a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)
=(a+b)(a−b)(a4+a2b2+b4)=(a+b)(a-b)(a^4+a^2b^2+b^4)这就是不建议大家用方法1的原因，因为很多同学在这里误以为第 33 个因式不可分解，实际可用配方法分解
=(a+b)(a−b)(a4+2a2b2+b4−a2b2)=(a+b)(a-b)(a^4+2a^2b^2+b^4−a^2b^2)
=(a+b)(a−b)[(a2+b2)2−(ab)2]=(a+b)(a-b)[(a^2+b^2)^2−(ab)^2]平方差
=(a+b)(a−b)(a2+b2−ab)(a2+b2+ab)=(a+b)(a-b)(a^2+b^2−ab)(a^2+b^2+ab)虽然分解到这里结果正确，但是通常还会往下写一步
=(a+b)(a−b)(a2−ab+b2)(a2+ab+b2)=(a+b)(a-b)(a^2−ab+b^2)(a^2+ab+b^2)

解2：原式=(a3)2−(b3)2=(a^3)^2-(b^3)^2
=(a3+b3)(a3−b3)=(a^3+b^3)(a^3-b^3)局势明了，进一步分解
=(a+b)(a2−ab+b2)(a−b)(a2+ab+b2)=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a^2+ab+b^2)很轻松得到四个因式

此题结论：在同时可以用立方公式和平方公式时，一定优先用平方公式，否则很有可能分出来最后只有 33 个因式，想不到用配方法

3.4完全立方公式在因式分解中的应用

例11： 因式分解：a3−3a2b+3ab2+7b3a^3-3a^2b+3ab^2+7b^3
这道题有天坑（作者的作业这其实是到选择题，问一下哪一项不能因式分解，作者觉得选C（就是这个题），结果错了）
圆规正转：这道题应该用配方法解题
解：原式=a3−3a2b+3ab2−b3+8b3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3+8b^3
=(a−b)3+(2b)3=(a-b)^3+(2b)^3
=(a−b+2b)[(a+b)2−2b(a−b)+4b2]=(a-b+2b)[(a+b)^2-2b(a-b)+4b^2]
=(a2−4ab+7b2)(a+b)=(a^2-4ab+7b^2)(a+b)

章节笔记





至此，公式法告一段落（后续会补充更多例题)，进入因式分解重难点板块，十字相乘法

第四章：十字相乘在因式分解里的运用

4.1 基本原理

十字相乘总归原理就是根据公式 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab 这一公式的草稿过程（类似竖式计算对于横式的关系）

4.2 基础例题

例很多： 因式分解：x2+5x+6x^2+5x+6
思：找到一组数，乘积为+6+6。和为+5+5注意一定要带符号
因式分解过程如下图：结果为(x+2)(x+3)(x+2)(x+3)

例很多+1：因式分解x2−5x+6x^2-5x+6
思：找到一组数，乘积为+6+6，和为−5-5
结果为(x−2)(x−3)(x-2)(x-3)

例很多+2：因式分解x2−5x−6x^2-5x-6
思：找到一组数，乘积为−6-6，和为−5-5
结果为(x−6)(x+1)(x-6)(x+1)

【练一练】

现在有一块资本的蛋糕，你动了它，你很怕被资本做局，于是想因式分解这块蛋糕的面积，这块蛋糕的面积是(x+4)(x−9)−180(x+4)(x-9)-180，为了你不被资本做局，分解他

未更完，预计下次更新：2025/8/16晚

小广告来咯

userId_undefined
去预览
0/2000

全部评论 72

热门讨论