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7
事情是这样的，我和好兄弟玩真心话大冒险，结果我输了，选了大冒险做一道他出的难题
> 兄弟的难题：
> 解三角方程： sinx=2\sin{x}=2sinx=2
众所周知，当 x∈Rx\in\Rx∈R 的时候，sinx\sin{x}sinx 函数的值域在 [−1,1][-1,1][−1,1] 区间内，那么，如果我们扩展自变量 xxx 的取值范围为 C\ComplexC 之后，会发生什么呢？
不妨试试解我兄弟给我的这个方程：
sinx=2\sin{x}=2 sinx=2
你一定会尖叫：“这不可能！”
但是，不妨考虑一下欧拉公式：
eix=cosx+isinx\displaystyle e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x} eix=cosx+isinx
如果令 x=−xx=-xx=−x，那么：
ei(−x)=cos(−x)+isin(−x)\displaystyle e^{i(-x)}=\cos(-x)+i\sin(-x) ei(−x)=cos(−x)+isin(−x)
考虑到 cosx\cos{x}cosx 为偶函数，而 sinx\sin{x}sinx 为奇函数，因此：
e−ix=cosx−isinx\displaystyle e^{-ix}=\cos{x}-i\sin{x} e−ix=cosx−isinx
两式相减：
eix−e−ix=2isinx\displaystyle e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin{x} eix−e−ix=2isinx
此处可以代入 sinx=2\sin{x}=2sinx=2，化简：
eix−e−ix=4i\displaystyle e^{ix}-e^{-ix}=4i eix−e−ix=4i
因为 x−1=1x\displaystyle x^{-1}=\dfrac{1}{x}x−1=x1 ，所以不妨换元：令 t=eix\displaystyle t=e^{ix}t=eix，则：
t−1t=4i\displaystyle t-\dfrac{1}{t}=4i t−t1 =4i
t2−4it−1=0\displaystyle t^2-4it-1=0 t2−4it−1=0
判别式 Δ=−16+4=−12\displaystyle \Delta=-16+4=-12Δ=−16+4=−12
因此，解得 t1=4i+23i2=(2+3)i, t2=4i−23i2=(2−3)i\displaystyle t_1=\dfrac{4i+2\sqrt{3}i}{2}=(2+\sqrt{3})i,\,\,t_2=\dfrac{4i-2\sqrt{3}i}{2}=(2-\sqrt{3})it1 =24i+23 i =(2+3 )i,t2 =24i−23 i =(2−3 )i
别忘了 ttt 是换元的结果！换回 xxx：
{eix1=(2+3)ieix2=(2−3)i\displaystyle\begin{cases}e^{ix_1}=(2+\sqrt{3})i\\e^{ix_2}=(2-\sqrt{3})i\end{cases} {eix1 =(2+3 )ieix2 =(2−3 )i
取对数：
{ix1=ln((2+3)i)ix2=ln((2−3)i)\displaystyle\begin{cases}ix_1=\ln((2+\sqrt{3})i)\\ix_2=\ln((2-\sqrt{3})i)\end{cases} {ix1 =ln((2+3 )i)ix2 =ln((2−3 )i)
最后一步：除以 iii：
{x1=−iln((2+3)i)x2=−iln((2−3)i)\displaystyle\begin{cases}x_1=-i\ln((2+\sqrt{3})i)\\x_2=-i\ln((2-\sqrt{3})i)\end{cases} {x1 =−iln((2+3 )i)x2 =−iln((2−3 )i)
这便是 sinx=2\sin{x}=2sinx=2 的 两类 解（为什么不是两个？别忘了 sinx\sin{x}sinx 的周期性！或者说的更好应该是极坐标表示法下复数辅角不唯一！）
同理，你也可以试试看解方程 cosx=3\cos{x}=3cosx=3 作为练习，唯一的区别只是数据不同以及减法和加法的区别而已。
在此留下记录，给我那个不知天高地厚的好兄弟见识一下洒家的威力
