真心话大冒险

2026-05-24 15:24:32

发布于：上海

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事情是这样的，我和好兄弟玩真心话大冒险，结果我输了，选了大冒险做一道他出的难题

兄弟的难题：
解三角方程： $\sin{x}=2$

众所周知，当 $x\in\R$ 的时候， $\sin{x}$ 函数的值域在 $[-1,1]$ 区间内，那么，如果我们扩展自变量 $x$ 的取值范围为 $\Complex$ 之后，会发生什么呢？

不妨试试解我兄弟给我的这个方程：

$\sin{x}=2$

你一定会尖叫：“这不可能！”

但是，不妨考虑一下欧拉公式：

$\displaystyle e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$

如果令 $x=-x$ ，那么：

$\displaystyle e^{i(-x)}=\cos(-x)+i\sin(-x)$

考虑到 $\cos{x}$ 为偶函数，而 $\sin{x}$ 为奇函数，因此：

$\displaystyle e^{-ix}=\cos{x}-i\sin{x}$

两式相减：

$\displaystyle e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin{x}$

此处可以代入 $\sin{x}=2$ ，化简：

$\displaystyle e^{ix}-e^{-ix}=4i$

因为 $\displaystyle x^{-1}=\dfrac{1}{x}$ ，所以不妨换元：令 $\displaystyle t=e^{ix}$ ，则：

$\displaystyle t-\dfrac{1}{t}=4i$

$\displaystyle t^2-4it-1=0$

判别式 $\displaystyle \Delta=-16+4=-12$

因此，解得 $\displaystyle t_1=\dfrac{4i+2\sqrt{3}i}{2}=(2+\sqrt{3})i,\,\,t_2=\dfrac{4i-2\sqrt{3}i}{2}=(2-\sqrt{3})i$

别忘了 $t$ 是换元的结果！换回 $x$ ：

$\displaystyle\begin{cases}e^{ix_1}=(2+\sqrt{3})i\\e^{ix_2}=(2-\sqrt{3})i\end{cases}$

取对数：

$\displaystyle\begin{cases}ix_1=\ln((2+\sqrt{3})i)\\ix_2=\ln((2-\sqrt{3})i)\end{cases}$

最后一步：除以 $i$ ：

$\displaystyle\begin{cases}x_1=-i\ln((2+\sqrt{3})i)\\x_2=-i\ln((2-\sqrt{3})i)\end{cases}$

这便是 $\sin{x}=2$ 的两类解（为什么不是两个？别忘了 $\sin{x}$ 的周期性！或者说的更好应该是极坐标表示法下复数辅角不唯一！）

同理，你也可以试试看解方程 $\cos{x}=3$ 作为练习，唯一的区别只是数据不同以及减法和加法的区别而已。

在此留下记录，给我那个不知天高地厚的好兄弟见识一下洒家的威力

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