第一章 什么是函数&三大函数详解
说到函数，可能很多人会有一种莫名的害怕。然而学过编程的同志们第一反应一定是这样的：
又或者是这样的：
当然，今天聊的不是编程中的函数，而是数学中的函数，主要有以下几个方面：
· 什么是函数
· 区间
· 奇函数与偶函数
· 函数的定义域和值域
· 反函数
· 函数图像的平移与对称
· 幂函数、指数函数与对数函数
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什么是函数
函数这个东西听起来有些让人闻风丧胆，但实际上和编程中的函数类似，都是实现了一定功能的东西，称为函数。
我们初中阶段学到的函数一般是写成 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 形式的，这种情况下，xxx 被称为 自变量，yyy 被成为 因变量。说人话就是，主动变化的变量是自变量，因自变量而被动变化的变量是因变量。初中阶段，一个 xxx 的值只能够对应一个 yyy 的值，而一个 yyy 的值可以由多个 xxx 的值得到。但这仅限于一元函数。多元函数，顾名思义就有不止一个自变量，如我们常常听到的圆函数，可以写成：
x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 x2+y2=r2
可以通过勾股定理得到上面的圆函数表达式。当然，我们也可以写成这样：
z=f(x,y)=x2+y2z=f(x,y)=x^2+y^2 z=f(x,y)=x2+y2
（超纲了）可以把圆函数理解成三维物体在这个二维平面直角坐标系中的一个投影。
给定一个图像，怎么判断它是否为 yyy 关于 xxx 的函数图像呢？我们可以拿出一条平行于 yyy 轴的直线，在平面直角坐标系上移动，从xxx 轴最左边移动到左右边。途中，如果这条直线与给定图像相交了超过一次（不包含一次），则它就不是函数图像，因为此时一个 xxx 对应了多个 yyy，不满足函数的定义。这就是 垂线检验法。
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区间
在继续往下之前，先来解一个不等式：
3x+2≤113x+2\leq 11 3x+2≤11
你可以脱口而出说它的解集是 x≤3x\leq 3x≤3，当然，你也可以考虑写成 (−∞,3](-\infty,3](−∞,3] 这种形式，这实际上就是 区间表示法。
区间表示法和信奥中的二分算法很类似，你可以理解成它就是两个括号中间以逗号分隔夹了 LLL 和 RRR。根据括号的不同，我们可以将区间分成四种类型：
1. (L,R)(L,R)(L,R) 开区间：表示集合 {x∣L<X<Rx|L<X<Rx∣L<X<R}
2. [L,R][L,R][L,R] 闭区间：表示集合 {x∣L≤x≤Rx|L\leq x\leq Rx∣L≤x≤R}
3. [L,R)[L,R)[L,R) 半开半闭区间：表示集合 {x∣L≤x<Rx|L\leq x<Rx∣L≤x<R}
4. (L,R](L,R](L,R] 半开半闭区间：表示集合 {x∣L<x≤Rx|L<x\leq Rx∣L<x≤R}
说白了就是小括号的半边不能够取等号，而中括号可以。需要注意的是，上面我们写的是 (−∞,3](-\infty,3](−∞,3]，包含正负无穷大那一头不能够写中括号，因为无穷本就是一个虚的概念，我们生活在有穷的世界中，无法达到无穷，只能无限接近无穷，故而无法取到等号。
我们可以利用区间来表示一些取值范围，包括不等式的解集，函数的定义域、值域等。
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函数的奇偶性
我们熟知的 自然数（自然数集符号为N）分为 奇数 和 偶数 两大类。如果自然数 aaa 为奇数，则其满足 amod 2=1a\mod 2=1amod2=1，反之则有 amod 2=0a\mod 2=0amod2=0。（这里 mod 2\mod 2mod2 表示对 222 取余）。
当然，函数的奇偶性不是这样看的。
现在我们定义一个函数 f(x)f(x)f(x)。为了方便起见，我们规定 D(f)=RD(f)=RD(f)=R。
假设函数 f(x)f(x)f(x) 为奇函数，则我们有 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x)，它的图像是关于原点对称，是中心对称图形。比如，正比例函数 和 反比例函数 都是奇函数。
假设函数 f(x)f(x)f(x) 为偶函数，则我们有 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x)，它的图象关于 yyy 轴对称，是轴对称图形。比如，绝对值函数 和 二次函数 y=x2+cy=x^2+cy=x2+c 就是偶函数
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函数的定义域和值域
所谓定义域，就是自变量的取值范围。它要符合两个条件。第一个条件是要让函数有意义，比如反比例函数 f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}f(x)=x1 ，我们在小学就学过分母不能为 000，因此它的定义域必然不包含 000。其定义域可以写成：D(f)=RD(f)=RD(f)=R \ {000}，其中，D(f)指函数 fff 的定义域，\表示不包含，R表示全体实数构成的集合。
第二个条件是题目给你的范围。比如，我有一个正比例函数 y=g(x)=2xy=g(x)=2xy=g(x)=2x ，表示买xxx支（不能不买）单价为 222 元的笔要花 yyy 元，显然 xxx 必须是正整数，那么它的定义域就是 D(g)=Z+D(g)=Z^+D(g)=Z+，其中Z表示整数集，+表示是正的子集。如果我带入 x=1.414x=1.414x=1.414 会怎么样？世界上没有 1.4141.4141.414 支笔，带入也会使得函数无意义，因此所有的虚数、小数、负数都不在它定义域内。（实际上也是所谓的“第一个条件”）
那么值域呢？它是因变量的取值范围。对于函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 而言，其值域就是所有 f(x)f(x)f(x) 构成的集合。举个简单的例子，二次函数 y=h(x)=x2y=h(x)=x^2y=h(x)=x2，定义域 D(h)=RD(h)=RD(h)=R，则必然其值域 Z(h)=R+Z(h)=R^+Z(h)=R+，因为带入任何的 xxx 得到的 yyy 都在这个范围内，且由于 xxx 是实数，不会出现虚数，故不会有 y<0y<0y<0 的情况。其中，Z(h)表示函数 hhh 的值域。
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反函数
顾名思义，反函数就是将函数“反过来”，它与原函数关于 y=xy=xy=x 呈轴对称。函数 f(x)f(x)f(x) 的反函数一般记作 f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)，像三角函数如 sin(x)sin(x)sin(x) 还可以记作 arcsin(x)arcsin(x)arcsin(x)。
反函数是将原函数的定义域和值域反过来，因此，D(f−1)=Z(f)D(f^{-1})=Z(f)D(f−1)=Z(f)，Z(f−1)=D(f)Z(f^{-1})=D(f)Z(f−1)=D(f)。反函数的功能就是将原函数得到的 yyy 带入反函数中作为参数，可以求出原函数的参数 xxx，明白的说就是：
{y0=f(x0)x0=f−1(y0)\begin{cases} y_0=f(x_0)\\ x_0=f^{-1}(y_0) \end{cases}{y0 =f(x0 )x0 =f−1(y0 )
但是这这也会带来一些问题，比如，原函数没有反函数，如果强行构造反函数会出现“反函数”的图像出现了一个 xxx 对应多个 yyy 的情况。因此，在无脑构造反函数之前，我们必须先判断原函数是否有反函数。
这种方法类似于垂线检验法。我们当然可以在无脑构造的反函数中使用垂线检验法。不过只通过原函数也可以，由上面的方程组可知，反函数中的 yyy 就是原函数中的 xxx，反函数中的 xxx 就是原函数中的 yyy。因此，我们可以把平行于 yyy 轴的直线换成平行于 xxx 轴的直线，从下往上平移。一旦发现函数图像与这条直线的交点数 ≥2\geq 2≥2，则可以立刻断言它没有反函数。这就是 水平线检验法。
当然，并非说函数 f(x)f(x)f(x) 在定义域 D(f)=RD(f)=RD(f)=R 时没有反函数就代表函数 f(x)f(x)f(x) 无法构造反函数。不如，对于函数 y=f(x)=x2y=f(x)=x^2y=f(x)=x2，当定义域 D(f)=RD(f)=RD(f)=R 的时候我们用水平线检验法知道它没有反函数，但是我们可以通过对它的定义域进行限制，比如限制 f(x)f(x)f(x) 定义域 D(f)=R+D(f)=R^+D(f)=R+，即只针对正实数，现在这个函数 f(x)f(x)f(x) 就能够通过水平线检验法，而它的反函数
y=f−1(x)=x(x>0)y=f^{-1}(x)=\sqrt{x}(x>0)y=f−1(x)=x (x>0)。我们成功的为它找到了反函数，只不过对它的定义域进行了限制。
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函数的平移与对称
函数图像也是图形，而图形有三种基本运动：平移、旋转、对称。
当然，本帖主要介绍平移和对称两个运动，旋转可能涉及其他更高深的知识，感兴趣的读者朋友可以上网搜索一下。
1. 平移
假设我有一个函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x)，它经过一个点 (x,y)(x,y)(x,y)。现在我要将它朝 xxx 轴正方向平移 aaa 个单位（如果 aaa 为负则说明是往 xxx 轴负方向平移），再朝 yyy 轴正方向平移 bbb 个单位，到达点 (x′,y′)(x',y')(x′,y′)。
那么我们可以列出二元一次方程组（x、y、a、bx、y、a、bx、y、a、b 均为参数）：
{x+a=x′y+b=y′\begin{cases} x+a=x'\\ y+b=y'\\ \end{cases}{x+a=x′y+b=y′
经过基本的移项，可以得到：
{x=x′−ay=y′−b\begin{cases} x=x'-a\\ y=y'-b \end{cases}{x=x′−ay=y′−b
现在，我们带入函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x)，将 xxx 和 yyy 都做替换：
y′−b=f(x′−a)y'-b=f(x'-a) y′−b=f(x′−a)
经过移项，得到：
y′=f(x′−a)+by'=f(x'-a)+b y′=f(x′−a)+b
现在已经没有了 xxx 和 yyy，那么保留一撇也没有什么意义，干脆去掉：
y=f(x−a)+by=f(x-a)+b y=f(x−a)+b
这也就是为什么有“上加下减，左加右减”的说法。
当然，我们也可以用脱缰凯视频中的口诀“外加减，上下飞；内加减，左右追”
2. 对称
让我们恭喜各位读到这里的朋友们，你们已经学会了推导平移的过程了。对称实际上也没有区别，各位可以自己先尝试下，看看是否真正理解掌握了上面的过程。建议从“关于 yyy 轴（xxx 轴）对称和关于原点 OOO 对称的函数解析式”开始推到。
这里就不浪费时间推导这几个的结论了。我们直接看看更一般的：关于（平行于坐标轴的）直线呈轴对称和关于一点呈中心对称的函数解析式。
2.1. 关于直线 Y=AY=AY=A 对称
让我们依旧套用上面的方法，假设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x)，图像上一点坐标为 (x,y)(x,y)(x,y)。
由于是关于直线 y=ay=ay=a 对称，设对称点为 (x′,y′)(x',y')(x′,y′)，则 xxx 坐标不会发生变化，而 yyy 坐标会发生变化。
根据对称的性质可知，原来的点 (x,y)(x,y)(x,y) 和对称点 (x′,y′)(x',y')(x′,y′) 到对称轴 y=ay=ay=a 的距离相等，则有：
∣y−a∣=∣a−y′∣|y-a|=|a-y'| ∣y−a∣=∣a−y′∣
为什么这样写？不难发现，由于两个点分布在对称轴两侧，则上面的式子去掉绝对值符号后正负性相同，值依然相等：
y−a=a−y′y-a=a-y' y−a=a−y′
移项：
y+y′=2ay+y'=2a y+y′=2a
套用平移的思路，可以列方程：
{x=x′y+y′=2a\begin{cases} x=x'\\ y+y'=2a\\ \end{cases}{x=x′y+y′=2a
移项得到：
{x=x′y=2a−y′\begin{cases} x=x'\\ y=2a-y'\\ \end{cases}{x=x′y=2a−y′
带入函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x)，则有：
2a−y′=f(x′)y′=2a−f(x′)y=2a−f(x)2a-y'=f(x')\\ y'=2a-f(x')\\ y=2a-f(x)2a−y′=f(x′)y′=2a−f(x′)y=2a−f(x)
用你算到的关于 xxx 轴对称的解析式检验一下（带入 a=0a=0a=0），看看是否正确。
2.2. 关于直线 X=AX=AX=A 对称
这个不难，只不过再次套用上面的过程，此处稍微简略写一下：
套用刚才的思路，设的和上面几乎一样，可以列方程：
{x+x′=2ay=y′\begin{cases} x+x'=2a\\ y=y'\\ \end{cases}{x+x′=2ay=y′
移项得到：
{x=2a−x′y=y′\begin{cases} x=2a-x'\\ y=y'\\ \end{cases}{x=2a−x′y=y′
带入函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x)，则有：
y′=f(2a−x′)y=f(2a−x)y'=f(2a-x')\\ y=f(2a-x)y′=f(2a−x′)y=f(2a−x)
你也可以带入 a=0a=0a=0 验证一下关于 yyy 轴对称的解析式你有没有算对。
2.3. 关于定点 (A,B)(A,B)(A,B) 对称
这个也不难，设的还是和上面几乎一样，这里不再重复。
关键一点是，这里不再是呈轴对称，而是中心对称，怎么办？
呈中心对称的两个图形，其对应点的连线段的中点恰是对称点，也就是 (a,b)(a,b)(a,b)！而我们有中点公式：对于 A(x1,y1)A(x_1,y_1)A(x1 ,y1 ) 和 B(x2,y2)B(x_2,y_2)B(x2 ,y2 )，其中点 MMM 坐标为：
M(x1+x22,y1+y22)M(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}) M(2x1 +x2 ,2y1 +y2 )
那么可以通过它列方程：
{x+x′=2ay+y′=2b\begin{cases} x+x'=2a\\ y+y'=2b\\ \end{cases}{x+x′=2ay+y′=2b
移项得到：
{x=2a−x′y=2b−y′\begin{cases} x=2a-x'\\ y=2b-y'\\ \end{cases}{x=2a−x′y=2b−y′
带入函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x)，则有：
2b−y′=f(2a−x′)y′=2b−f(2a−x′)y=2b−f(2a−x)2b-y'=f(2a-x')\\ y'=2b-f(2a-x') y=2b-f(2a-x)2b−y′=f(2a−x′)y′=2b−f(2a−x′)y=2b−f(2a−x)
你也可以带入验证一下。
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一些基本的函数
0. 常值函数
形如 y=Cy=Cy=C 的函数叫做常值函数，其中 CCC 是一个常数。它是一条水平的直线，与 xxx 轴平行。下图所展示的是常值函数 y=2y=2y=2 的图像。
一般而言，常值函数的定义域 D(f)=(−∞,∞)D(f)=(-\infty,\infty)D(f)=(−∞,∞)，值域 Z(f)=CZ(f)=CZ(f)=C。
1. 一次函数
形如 y=kx+b (k≠0)y=kx+b\,\,(k\neq 0)y=kx+b(k=0) 的函数叫做一次函数。如下图所示，一次函数是一条直线，kkk 被称作斜率，而 bbb 被称作截距。
一次函数的图像是一条直线。同为直线的常值函数可以看成是一次函数的 kkk 斜率变成 000 的时候的特殊情况。
我们在初中时期学一次函数之前一定会学到一种函数，叫做“正比例函数”，它是一次函数的特殊情形，图像到 yyy 轴截距为 000 ，即 b=0b=0b=0 时的情况。
我们可以根据 kkk 和 bbb 的正负性来列出下面的表格：
k>0k>0k>0 k=0k=0k=0 k<0k<0k<0 b>0b>0b>0 经过一、二、三象限，左下——右上 经过一、二象限的常值函数 经过一、二、四象限，左上——右下 b=0b=0b=0 经过一、三象限的正比例函数，左下——右上 与 xxx 轴重合的常值函数 经过二、四象限的正比例函数，左上——右下 b<0b<0b<0 经过一、三、四象限，左下——右上 经过三、四象限的常值函数 经过二、三、四象限，左上——右下
一次函数也有其它的写法，如：ax+by+c=0ax+by+c=0ax+by+c=0
与一次函数有关的概念会在日后文中有所提及，因为它也是一个很重要的概念——切线——必不可少的一点。
2. 二次函数
形如 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c 的函数被叫做二次函数。二次函数是一条抛物线，如下图所示。
由于二次函数是一条抛物线，一般我们会选择在坐标系中用 描点——连线法（连的是光滑的曲线）来绘制其图像，但不代表无法用直线绘制，如下图：
这是用直线来逼近二次函数 y=x2y=x^2y=x2 的图像（用的是电脑软件计算器的绘图功能，大家也可以去试试），其具体原理我会在后面几期讨论中解释。现在给出一个大概：
过点 P(x,ax2+bx+c)P(x,ax^2+bx+c)P(x,ax2+bx+c) 的切线斜率为 2ax+b2ax+b2ax+b
2.1. 二次函数的其他表达方式
除了一般式 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c 之外，二次函数还有其他表达方式。
1. 顶点式 y=a(x−m)2+ky=a(x-m)^2+ky=a(x−m)2+k
2. 交点式 y=a(x−x1)(x−x2)y=a(x-x1)(x-x2)y=a(x−x1)(x−x2)
让我们先来看看顶点式。
希望你还记得之前推的平移的结论。我们可以从 y=ax2y=ax^2y=ax2 出发，不难发现它的顶点为 (0,0)(0,0)(0,0)。接着，先将图像往右平移 mmm 个单位，再往上平移 kkk 个单位，得到的顶点为 (m,k)(m,k)(m,k)。这也是为什么叫它顶点式的原因，你可以根据它的写法直接推导出二次函数顶点坐标。
接着轮到交点式。
（会一元二次方程求根公式可以跳过）
我们可以解一个一元二次方程：
ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2+bx+c=0(a\neq0) ax2+bx+c=0(a=0)
两边同时除以 aaa：
x2+bax+ca=0x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0 x2+ab x+ac =0
添项：
x2+bax+b24a2−b24a2+ca=0x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0 x2+ab x+4a2b2 −4a2b2 +ac =0
移项：
x2+bax+b24a2=b24a2−cax^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a} x2+ab x+4a2b2 =4a2b2 −ac
左边配方，右边通分：
(x+b2a)2=b2−4ac4a2(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} (x+2ab )2=4a2b2−4ac
令 Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4acΔ=b2−4ac，只考虑实数解，则当 Δ<0\Delta<0Δ<0 时，原方程无解；
当 Δ=0\Delta=0Δ=0 时，我们说二次方程有两个等根为 x1=x2=−b2ax_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}x1 =x2 =−2ab ；
当 Δ>0\Delta>0Δ>0 时，x1,2=−b±Δ2ax_{1,2}=\dfrac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}x1,2 =2a−b±Δ 。
这样我们可以解出一元二次方程两根，则我们可以对一些二次三项式进行实数范围内的因式分解：
对于二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)ax^2+bx+c(a\neq 0)ax2+bx+c(a=0)，由试根法知让多项式值为 000 的 xxx 值（假设为 x0x_0x0 ）是很重要的，它可以让多项式因式分解为 (x−x0)(⋯ )(x-x_0)(\cdots)(x−x0 )(⋯)，后面的省略号可以通过长除法得到。这里，我们借用这种思路。令 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c，则可以通过带入 y=0y=0y=0 并解方程得到：
y=a(x−−b+b2−4ac2a)(x−−b−b2−4ac2a)y=a(x-\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}) y=a(x−2a−b+b2−4ac )(x−2a−b−b2−4ac )
简单来说就是 y=a(x−x1)(x−x2)y=a(x-x1)(x-x2)y=a(x−x1)(x−x2)
对于二次函数也是同理，实际上刚才就是我们由二次函数一般式推导二次函数交点式的过程（当然 Δ<0\Delta<0Δ<0 的时候没有交点式，因为我们现在的平面直角坐标系不考虑复数）
二次函数的交点式主要用于知道它与 xxx 轴的两个交点坐标时求解析式，因此化成一般式得到一元二次方程后可以轻松得解，也可以用交点式的存在与否来判断是否有一元二次方程实数解。
2.2. 二次函数的顶点
现在针对二次函数我们来看一个新的东西：极值点。
由于二次函数是一条抛物线，整体呈 UUU 形，只有一个极值点（也称作顶点），因此我们有很多种方法可以找到它顶点的坐标。
法一：配方法
配方法是初中阶段我们求二次函数顶点坐标的主要方法。核心思想就是将一般式配方成为顶点式，得到顶点坐标。
y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c y=ax2+bx+c
提取 aaa：
y=a(x2+bax+ca)y=a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}) y=a(x2+ab x+ac )
添项：
y=a(x2+bax+b24a2−b24a2+ca)y=a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}) y=a(x2+ab x+4a2b2 −4a2b2 +ac )
配方，将多余项移出括号后通分：
y=a(x+b2a)+4ac−b24ay=a(x+\dfrac{b}{2a})+\dfrac{4ac-b^2}{4a} y=a(x+2ab )+4a4ac−b2
因此，我们得到结果：二次函数顶点 M(−b2a,4ac−b24a)M(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})M(−2ab ,4a4ac−b2 )
法二：偶函数性质法
我们设顶点 M(xm,ym)M(x_m,y_m)M(xm ,ym )
令二次函数解析式为 y=f(x)=ax2+bx+cy=f(x)=ax^2+bx+cy=f(x)=ax2+bx+c，则由二次函数是轴对称图形（顶点所在的平行于 yyy 轴的直线为对称轴）可知函数 f(x−xm)f(x-x_m)f(x−xm ) 为偶函数。
随便带入一个必然在值域 Z(f)Z(f)Z(f) 内的 yyy 的值 y0y_0y0 ，最简单的就选择 y0=cy_0=cy0 =c，
带入 f(x)=cf(x)=cf(x)=c：
ax2+bx+c=cax^2+bx+c=c ax2+bx+c=c
抵消：
ax2+bx=0ax^2+bx=0 ax2+bx=0
因式分解：
x(ax+b)=0x(ax+b)=0 x(ax+b)=0
得到 x1=0x_1=0x1 =0，x2=−bax_2=-\dfrac{b}{a}x2 =−ab
根据偶函数的轴对称性质，有：
2xm=x1+x22x_m=x_1+x_2 2xm =x1 +x2
则带入移项得到：
xm=−b2ax_m=-\dfrac{b}{2a} xm =−2ab
带入 f(x)f(x)f(x) 解析式，得到 M(−b2a,4ac−b24a)M(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})M(−2ab ,4a4ac−b2 )
法三：求导法
求导是什么？后续的帖子中我们会提到。
这里先根据上面提到的过一点的切线斜率为 2a+b2a+b2a+b 来考虑。
根据费马最大最小值定理，当且仅当 2ax+b=02ax+b=02ax+b=0 时函数可能有极值（如果结合图像就很好理解，只有当你切线斜率从正的变到 000 在变到负的或者反过来时，你这个点是一个局部最高/最低点，否则其他斜率为 000 说明可能是一个拐点），则带入得到 xm=−b2ax_m=-\dfrac{b}{2a}xm =−2ab ，带回得出 M(−b2a,4ac−b24a)M(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})M(−2ab ,4a4ac−b2 )
3. 反比例函数
形如 y=kx (k≠0)y=\dfrac{k}{x}\,\,(k\neq 0)y=xk (k=0) 的函数被称为反比例函数。反比例函数也可以写成 xy=kxy=kxy=k 的形式，或者 y=kx−1y=kx^{-1}y=kx−1 的形式，后者是用了指数表达方法。
因为分母不能够为 000，因此反比例函数的定义域 D(f)=RD(f)=RD(f)=R\{000}，值域同理 Z(f)=RZ(f)=RZ(f)=R\{000}。
因为反比例函数也可以写成 xy=kxy=kxy=k 的形式，因此它也具有一些“不变形”，如下：
3.1. 矩形面积不变性
很好证明。我们假设反比例函数 y=kx(k≠0y=\dfrac{k}{x}(k\neq 0y=xk (k=0 上一点 P(x,kx)P(x,\dfrac{k}{x})P(x,xk )，则矩形面积就是 xxx 坐标与 yyy 坐标的乘积的绝对值，即 S矩=∣x⋅kx∣=∣k∣S_矩=|x\cdot \dfrac{k}{x}|=|k|S矩 =∣x⋅xk ∣=∣k∣
3.2. 三角形面积不变形
这也很好证明。我们知道，这个三角形是直角三角形，由于它的两个锐角定点分别为原点和反比例函数上的点，因此它是上面的矩形面积的一半，即 S△=12S矩=∣k∣2S_\triangle=\dfrac{1}{2}S_矩=\dfrac{|k|}{2}S△ =21 S矩 =2∣k∣
3.3. 梯形面积不变性
（虽然说称它为“不变性”有些勉强）但这实际上也是很好证明的。由上面“三角形面积不变形”得到 S△AA1O=S△BB1O=∣k∣2S_{\triangle AA_1O}=S_{\triangle BB_1O}=\dfrac{|k|}{2}S△AA1 O =S△BB1 O =2∣k∣ ，可以得到 S梯AA1B1B=S梯AA1B1B+S△AA1O−S△BB1O=S△ABOS_{梯AA_1B_1B}=S_{梯AA_1B_1B}+S_{\triangle AA_1O}-S_{\triangle BB_1O}=S_{\triangle ABO}S梯AA1 B1 B =S梯AA1 B1 B +S△AA1 O
−S△BB1 O =S△ABO ，同理得到 S△ABO=S梯AA2B2BS_{\triangle ABO}=S_{梯AA_2B_2B}S△ABO =S梯AA2 B2 B
3.4. 线段比例不变性
这个略有些难，但也还好。
①四边形 MONPMONPMONP 面积为定值：
这个只需要用到矩形面积不变性和三角形面积不变性就可以证明。由上图可以列式：S四MONP=S矩AOBP−S1−S2S_{四MONP}=S_{矩AOBP}-S_1-S_2S四MONP =S矩AOBP −S1 −S2 ，然后根据矩形面积不变性知道 S矩AOBPS_{矩AOBP}S矩AOBP 为定值，根据三角形面积不变性得知 S1=S2S_1=S_2S1 =S2 为定值，即有 S四MONPS_{四MONP}S四MONP 为定值。
②这个结论实际上可以归为③的特例，带入 n=2n=2n=2 即可得出此结论。
③若点 MMM 为 APAPAP 的 nnn 等分点，则点 NNN 为 PBPBPB 的 nnn 等分点：
我们不妨设 AM=pnAP(1≤p≤n)AM=\dfrac{p}{n}AP(1\leq p\leq n)AM=np AP(1≤p≤n)，外面的反比例函数解析式为 y=kx(k≠0)y=\dfrac{k}{x}(k\neq 0)y=xk (k=0)，里面的为 y=mx(m≠0)y=\dfrac{m}{x}(m\neq 0)y=xm (m=0)，点 P(x,kx)P(x,\dfrac{k}{x})P(x,xk )。
因此，点 P(x,kx)P(x,\dfrac{k}{x})P(x,xk )，点 M(x⋅pn,kx)M(x\cdot\dfrac{p}{n},\dfrac{k}{x})M(x⋅np ,xk )，反代求出 m=x⋅pn⋅kx=pn⋅km=x\cdot\dfrac{p}{n}\cdot\dfrac{k}{x}=\dfrac{p}{n}\cdot km=x⋅np ⋅xk =np ⋅k，可以得到点 N(x,1x⋅pn⋅k)N(x,\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{p}{n}\cdot k)N(x,x1 ⋅np ⋅k)。
因此 BN=pnBPBN=\dfrac{p}{n}BPBN=np BP
一些常见的函数[进阶]
好不容易看到这里了，想休息的休息一下吧。
接下来，这里将为大家介绍一些进阶的常见函数，如我们常说的三角函数。
4. 幂函数
形如 y=xny=x^ny=xn 的函数叫做幂函数。注意：nnn 务必要是常数！！！比如，一次函数、二次函数、反比例函数都是幂函数。如下图是 y=x3y=x^3y=x3 的图像。
再比如说下面 y=xy=\sqrt{x}y=x 的图像。
有人可能会不解：为什么 y=xy=\sqrt{x}y=x 算作幂函数？它不是带有根号吗？看下去你就知道了。
4.1. 幂函数的指数范围扩展之旅
论幂函数是如何扩展到 n≤0n\leq 0n≤0 和 n∈Qn\in Qn∈Q \ ZZZ 的，这确实有趣。
现在让我们来探究一下这个，当然先假设指数都是正整数。
我们先来看看第一个性质：ab×ac=ab+ca^b\times a^c=a^{b+c}ab×ac=ab+c
这是因为前面是 bbb 个 aaa 相乘，后面是 ccc 个 aaa 相乘，一共有 b+cb+cb+c 个 aaa 相乘，因此得到上述结论。
再来看看第二个性质：ac×bc=(ab)ca^c\times b^c=(ab)^cac×bc=(ab)c
前者是 ccc 个 aaa 相乘，后者是 ccc 个 bbb 相乘，同样有 ccc 个。类似于乘法分配律，ac+bc=(a+b)cac+bc=(a+b)cac+bc=(a+b)c，我们这里也可以把 aaa 与 bbb 合并在一起，用乘法交换律和乘法结合律，就得到了是 ccc 个 ababab 相乘，因而有了上述结论。
最后，来看看第三个性质：(ab)c=abc(a^b)^c=a^{bc}(ab)c=abc
类似于加法的简便运算乘法，(a×b)×c=a×(b×c)(a\times b)\times c=a\times(b\times c)(a×b)×c=a×(b×c)，这表示先让 bbb 个 aaa 连加，再让 ccc 个这样的结果连加，我们可以通过乘法结合律得到上述结论。这里也一样，先有 bbb 个 aaa 连乘，再有 ccc 个这样的结果连乘，就是有 bcbcbc 个 aaa 连乘，便有了上述结论
现在，我们可以看看这个指数 nnn 是怎么扩展到全体实数的：
首先看看当 n=0n=0n=0 时会发生什么。由于 ab×ac=ab+ca^b\times a^c=a^{b+c}ab×ac=ab+c，可知 ab÷ac=ab−ca^b\div a^c=a^{b-c}ab÷ac=ab−c，因此，a0=an÷an(n∈Z+, a≠0)a^0=a^n\div a^n(n\in Z^+,\,\,a\neq 0)a0=an÷an(n∈Z+,a=0)，计算结果为 a0=1(a≠0)a^0=1(a\neq 0)a0=1(a=0)，因为分母不能够为 000。
接着，来看看如果指数为负数会发生什么：
an=a0÷a−n(n∈Z−)a^n=a^0\div a^{-n}(n\in Z^-)an=a0÷a−n(n∈Z−)，因此 a−n=1an(n∈Z+)a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}(n\in Z^+)a−n=an1 (n∈Z+)，比如当 nnn 为 −1-1−1 时就是反比例函数。
最后，来看看指数是分数的情况：
我们从 a12a^{\frac{1}{2}}a21 开始。由第一条性质，我们知道 a1=a12×a12a^1=a^{\frac{1}{2}}\times a^{\frac{1}{2}}a1=a21 ×a21 ，而所谓的 a1a^1a1 就是 aaa，因此，a12=aa^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}a21 =a 。
进一步的，我们可以得到，apq=apqa^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}aqp =qap
现在，我们就成功地将幂函数的指数 nnn 扩展到了有理数范围（Q表示有理数集）。
当然你或许会说，无理数呢？虚数呢？对于无理数，比如 π\piπ，你背到小数点 10101010^{10^{10}}101010 后位它依然不是 π\piπ（当然你根本不可能，计算机都没算到那么后面），它只是一个有理数（有限小数），永远不可能是那个无限不循环小数，因此我们一般用的是戴德金分割（详情可以见科技3D视界第一个“正说微积分”的视频）这种方式或者极限来不断逼近这些无理数，因此它们在日常中依然是以有理数的方式和我们见面。
至于虚数……我们学到极坐标后就会知道，复平面在极坐标表示方式下，可以表示成 eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\thetaeiθ=cosθ+isinθ，因此虚数做指数即表示为复数，后续的帖子我们会提及。
4.2. 幂函数的定义域和特性
幂函数必然会过点 (1,1)(1,1)(1,1)，因为 111 的任何数次方都是 111。如果 n≥0n\geq 0n≥0，则也会过点 (0,0)(0,0)(0,0)。
当然，幂函数 y=f(x)=xny=f(x)=x^ny=f(x)=xn 重要一点是它的定义域：
1. 当 n≤0n\leq0n≤0 时，就像我们所说的，分母不能为 000，因此 0∉D(f)0\notin D(f)0∈/D(f)
2. 当 n∉Zn\notin Zn∈/Z 时，我们要进一步判断是否为偶数次的根式，比如 n=12n=\dfrac{1}{2}n=21 。首先将 nnn 化为最简分数 pq\dfrac{p}{q}qp ，判断 qqq 是否为双数（注意我没有说偶数，自然不包含 000），如果是则 R−∉D(f)R^-\notin D(f)R−∈/D(f)。
4.3. 二项式定理
我们继续深入探究一下幂的性质：二项式的整数幂怎么表达？大家可以先自行探究一下，当然也可以直接往下读。
不难发现，(a+b)0=1(a+b)^0=1(a+b)0=1，(a+b)1=1a0+1b0(a+b)^1=1a^0+1b^0(a+b)1=1a0+1b0
继续，(a+b)2=1a2b0+2a1b+1a0b2(a+b)^2=1a^2b^0+2a^1b+1a^0b^2(a+b)2=1a2b0+2a1b+1a0b2，(a+b)3=1a3b0+3a2b1+3a1b2+1a0b3(a+b)^3=1a^3b^0+3a^2b^1+3a^1b^2+1a^0b^3(a+b)3=1a3b0+3a2b1+3a1b2+1a0b3
到这里，你会发现，aaa 和 bbb 的指数都有规律，从 a0bna^0b^na0bn 一直到 anb0a^nb^0anb0。那么乘积的系数呢？换种写法你或许会感到熟悉：
11 11 2 11 3 3 11\\1\,\,1\\1\,\,2\,\,1\\1\,\,3\,\,3\,\,1 1111211331
你发现了吗？这就是杨辉三角！
我们再换种方式理解系数：组合。
每次展开一个 (a+b)(a+b)(a+b) 的括号，要么选择 aaa 和其他项作乘法，要么选择 bbb 和其他项作乘法。如果选择 aaa，则 aaa 的指数 +1+1+1，否则 bbb 的指数 +1+1+1。
所以，在 (a+b)n(a+b)^n(a+b)n 中，要想得到 ana^nan 这一项，即 anb0a^nb^0anb0，必然要从 nnn 个 (a+b)(a+b)(a+b) 的括号中选择 nnn 个 aaa，因此，系数就是 111，或者写成：CnnC_n^nCnn 或者 (nn)\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}(nn )
更一般的说：
如果要得到 apbn−p 这一项，那么系数就是 (pn)如果要得到\,\,a^pb^{n-p}\,\,这一项，那么系数就是\,\,\begin{pmatrix}p\\n\end{pmatrix} 如果要得到apbn−p这一项，那么系数就是(pn )
所以我们知道了，二项式的幂 (a+b)n(a+b)^n(a+b)n 以及杨辉三角都与组合数有关系。
这个听上去很简单，对吧。这就是二项式定理。
这个定理在这里提了，以后在证明幂函数（正整数指数幂）的导数时用到它就会很方便，一定要记住。至于它的升级版——广义二项式定理，大家感兴趣的话可以上网查找了解一下。
5. 指数函数
指数函数和幂函数长得很像，但是本质的区别就是自变量移到了指数上，因此叫做指数函数。形如 y=axy=a^xy=ax 的函数就是指数函数。如下图展示的就是 y=2xy=2^xy=2x。
5.1 指数函数的性质
当然，指数函数的几条性质和刚才介绍的幂函数的很类似，我们来看看：
1. a0=1a^0=1a0=1
2. a1=aa^1=aa1=a
3. ab×ac=ab+ca^b\times a^c=a^{b+c}ab×ac=ab+c
4. (ab)c=abc(a^b)^c=a^{bc}(ab)c=abc
5. ac×bc=(ab)ca^c\times b^c=(ab)^cac×bc=(ab)c
相信各位对这些已经很熟悉了。第一第二条实在是没什么难度，因为是个知道指数函数（甚至于只需要知道幂函数）的人就知道这两个特性；后三条更没有必要再去解释了，前面已经解释过了。
5.2. 指数函数的定义域和值域
一般而言，指数函数 y=f(x)=axy=f(x)=a^xy=f(x)=ax 的定义域都是 D(f)=RD(f)=RD(f)=R，这个很好理解，上图也解释了这一点。这是对于 xxx 的范围限制，但是对于底数 aaa 有很大的要求限制！！！所谓的底数必须大于零且不为一！！！
你可能对此不太理解：初中时不是学过如何计算 (−1)3(-1)^3(−1)3 吗？当然，我想说，这仅仅限于整数幂，其它的就难说了。首先，我们考虑到幂函数中我们说到的二分之一次方：a12a^{\frac{1}{2}}a21 ，它表示 aaa 开根号，然而当 a=−1a=-1a=−1 时，我们是在计算 −1\sqrt{-1}−1 的值，等于 iii，然而它不是算不出来，而是因为它是虚数，无法在这个平面直角坐标系上表示出来！
至于 a=0a=0a=0 和 a=1a=1a=1 两种情况，其图像几乎是一条直线，也没有必要研究它。因此，我们常说的指数函数，底数取值范围为 a>0a>0a>0 且 a≠1a\neq1a=1。
至于值域，在确定了底数的取值范围后，我们也自然而然的写出 Z(f)=R+Z(f)=R^+Z(f)=R+。
你也可以借助工具画出指数函数的图像。你会发现，图像的增减性是单调的。
当你选择的 a>1a>1a>1 时，你的图像必然是单调递增的，且只经过第一、二象限，必然经过 (0,1)(0,1)(0,1) 和 (1,a)(1,a)(1,a)；
当你选择的 a∈(0,1)a\in(0,1)a∈(0,1)，你的图像必然单调递减，且只经过第一、二象限，同理，必然经过 (0,1)、(1,a)(0,1)、(1,a)(0,1)、(1,a)。
6. 对数函数
这期的最后，让我们聊聊对数函数。形如 y=loga(x)y=\log_a(x)y=loga (x) 的函数叫做对数函数。曾经有著名数学家说，给他三样东西，他就能够创造宇宙，对数则是其中之一。漫士沉思录和毕导也出过视频讲人对世界的感知是对数的。可见对数的强大。当然，我们得先了解对数是什么。
6.1. 什么是对数
对数就是指数函数的反函数。如果指数函数为 y=axy=a^xy=ax，其中，告诉你当 x=bx=bx=b 时，y=cy=cy=c，这很好计算出 ccc 的值。但是告诉你 aaa 和 ccc 的值求 bbb 呢？有些不太好表示。因此，人们发明了对数来表示：b=loga(c)b=\log_a(c)b=loga (c)
如下图所示，这是对数函数 y=log2(x)y=\log_2(x)y=log2 (x) 的图像。
可以看到，对数函数的定义域 D(f)=R+D(f)=R^+D(f)=R+，值域 Z(f)=RZ(f)=RZ(f)=R。
6.2. 对数函数的性质
指数函数都有性质，对数函数怎么能没有？让我们来看看
1. loga(1)=0\log_a(1)=0loga (1)=0，loga(a)=1\log_a(a)=1loga (a)=1
2. 对数恒等式：b=aloga(b)b=a^{\log_a(b)}b=aloga (b)
3. loga(mn)=loga(m)+loga(n)\log_a(mn)=\log_a(m)+\log_a(n)loga (mn)=loga (m)+loga (n)
4. loga(mn)=loga(m)−loga(n)\log_a(\frac{m}{n})=\log_a(m)-\log_a(n)loga (nm )=loga (m)−loga (n)
5. loga(mn)=n⋅loga(m)\log_a(m^n)=n\cdot\log_a(m)loga (mn)=n⋅loga (m)
6. 换底公式：loga(b)=logc(b)logc(a)\log_a(b)=\dfrac{\log_c(b)}{\log_c(a)}loga (b)=logc (a)logc (b)
前两条纯粹是指数函数性质倒过来的写法。第三条开始才是重点。
第三第四条都是同一个道理，因为减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，会了正的就会证明逆的。我们来证明第三条：我们利用性质②，先将等式左边变成指数： aloga(mn)=mna^{\log_a(mn)}=mnaloga (mn)=mn，接着再将 mmm 和 nnn 分别换成指数为对数的形式：aloga(mn)=mn=aloga(m)⋅aloga(n)a^{\log_a(mn)}=mn=a^{\log_a(m)}\cdot a^{\log_a(n)}aloga (mn)=mn=aloga (m)⋅aloga
(n)，利用指数函数的性质，继续进行化简：aloga(mn)=aloga(m)⋅aloga(n)=aloga(m)+loga(n)a^{\log_a(mn)}=a^{\log_a(m)}\cdot a^{\log_a(n)}=a^{\log_a(m)+\log_a(n)}aloga (mn)=aloga (m)⋅aloga (n)=aloga (m)+loga (n)，最后同时去掉底数：loga(mn)=loga(m)+loga(n)\log_a(mn)=\log_a(m)+\log_a(n)loga (mn)=loga (m)+loga (n)
第四条留给正在阅读的你来证明。现在我们来看看第五条：还是利用性质②，将左边变成指数：aloga(mn)=mn=(m)na^{\log_a(m^n)}=m^n=(m)^naloga (mn)=mn=(m)n，这里打了个括号，以便下一步变换，将内部的 mmm 变成指数为对数的形式：aloga(mn)=(m)n=(aloga(m))na^{\log_a(m^n)}=(m)^n=(a^{\log_a(m)})^naloga (mn)=(m)n=(aloga
(m))n，利用指数的性质，继续化简：aloga(mn)=(aloga(m))n=aloga(m)⋅na^{\log_a(m^n)}=(a^{\log_a(m)})^n=a^{\log_a(m)\cdot n}aloga (mn)=(aloga (m))n=aloga (m)⋅n，再同时去掉底数，就有：loga(mn)=nloga(m)\log_a(m^n)=n\log_a(m)loga (mn)=nloga (m)。这个性质很有用，在求导的时候需要用到。
最后，让我们以一个较难的证明来结束这一贴的正文：证明换底公式。
首先，左边先用对数恒等式变成 b=aloga(b)b=a^{\log_a(b)}b=aloga (b)
接着，使用性质⑤，对两边同时关于 ccc 取对数：logc(b)=logc(aloga(b))=loga(b)⋅logc(a)\log_c(b)=\log_c(a^{\log_a(b)})=\log_a(b)\cdot\log_c(a)logc (b)=logc (aloga (b))=loga (b)⋅logc (a)
然后，移项：loga(b)=logc(b)logc(a)\log_a(b)=\dfrac{\log_c(b)}{\log_c(a)}loga (b)=logc (a)logc (b)
证毕。
7. 三角函数
涉及到三角函数的内容太多了，这个帖子再写要写不下了，因此我会把它单独写在下一章。
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第二章 三角函数
废话不多说，接下来让我们来聊聊一个听上去令人胆战心惊的东西—— 三角函数，继续上篇没写完的内容。
本文主要会向大家介绍：
· 锐角三角比
· 三角恒等式
· 三角函数的定义域扩展
· 三角函数相关的公式
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什么是三角函数
三角函数最初与我们见面是在六年级，我绝对不会告诉你是在《Mathematics Olympics 2021》收录的六年级竞赛中与我们见面的，当然你不知道这个也没关系，接下来我会向你介绍。
1. 锐角三角比
为什么说最初见面是在六年级？因为三角函数实际上就是直角三角形中线段的比值（六年级知识点：比和比例）。比如，告诉你 Rt△ABCRt_{\triangle ABC}Rt△ABC 中，∠C=90°,AC=4,BC=3,AB=5\angle C=90\degree,AC=4,BC=3,AB=5∠C=90°,AC=4,BC=3,AB=5，求BCAB的值\cfrac{BC}{AB}的值ABBC 的值。看着很简单：这不就是 35\dfrac{3}{5}53 嘛，又有什么？这就是锐角三角比 sinA\sin AsinA，或者叫它三角函数。
（我的某位不愿透露姓名的兄弟）哇塞！我居然看懂了！
三角函数的最初形态就是锐角三角比，建立在直角三角形中。如下图所示，我们一般设 Rt△ABC,∠C=90°Rt_{\triangle ABC},\angle C=90\degreeRt△ABC ,∠C=90°，三个顶点 A、B、CA、B、CA、B、C 所对的边分别长为 a、b、ca、b、ca、b、c。
首先明确一点：三角函数，是 关于角的函数！它把角度作为自变量（也可以是后面介绍的弧度），等角算出来的结果相等。因此，它们具备周期性。
我们以顶点 AAA 为例，计算一下它的各种锐角三角比。首先，我们定义对边比斜边的正弦函数 sinesinesine：
sinA=ac\sin A=\dfrac{a}{c} sinA=ca
以及它的好兄弟邻边比斜边的余弦函数 cosinecosinecosine：
cosA=bc\cos A=\dfrac{b}{c} cosA=cb
这二位真神的简称如上所示，他俩也是所有三角函数的基础。
接下来，我们定义一个稍微复杂点的函数——对边比邻边的正切 tangenttangenttangent：
tanA=sinAcosA=ab\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos A}=\dfrac{a}{b} tanA=cosAsinA =ba
正切函数的简写是 tan\tantan，当然你也可以写作 tg\tgtg。
然后我们看看邻边比对边的余切 cotangentcotangentcotangent：
cotA=1tanA=ba\cot A=\dfrac{1}{\tan A}=\dfrac{b}{a} cotA=tanA1 =ab
余切函数简写为 cot\cotcot，你也可以写作 ctg\ctgctg。
到这里就是我们初中所学到的所有锐角三角比了，但并不代表三角函数就这四个。还有两个被人遗忘的函数：正割和余割。
正割 secantsecantsecant 的定义是斜边比邻边，如下：
secA=1cosA=cb\sec A=\dfrac{1}{\cos A}=\dfrac{c}{b} secA=cosA1 =bc
我也不知道为什么正割一定要把 bbb 作为分母而不是 aaa，但是它确实是这样定义的，可能是为了寻求一种特别的美吧。
最后看看余割 cosecantcosecantcosecant 的定义，斜边比对边：
cscA=1sinA=ca\csc A=\dfrac{1}{\sin A}=\dfrac{c}{a} cscA=sinA1 =ac
注意一点：余割的简写并非取前三个字母得到 cos\coscos，因为 cos\coscos 是余弦函数！因此余割的简写较为特殊，改为了 csc\csccsc。
为什么我们说正余弦是最基本的？根据这些定义，tan\tantan 是由 sin\sinsin 和 cos\coscos 作比值得到的，而 cot\cotcot、sec\secsec、csc\csccsc 分别是 tan\tantan、cos\coscos、sin\sinsin 的倒数。不难发现，其余四个三角函数都和正余弦有关。因此，给你一个角度的正余弦，你就可以算出它的正余切和正余割。
当然，你也可以通过上面的定义进行一些等式的恒等变形，比如：
sinA=cosA×tanAcosA=sinAtanA\sin A=\cos A\times\tan A\\\cos A=\cfrac{\sin A}{\tan A} sinA=cosA×tanAcosA=tanAsinA
根据 tanA\tan AtanA 的定义可以轻松证明上面等式。
再比如：
tanAsecA=sinAcosA1cosA=sinA\cfrac{\tan A}{\sec A}=\cfrac{\cfrac{\sin A}{\cos A}}{\cfrac{1}{\cos A}}=\sin A secAtanA =cosA1 cosAsinA =sinA
同理，你可以得到下面的式子。读者自证不难：
secAtanA=cscA\cfrac{\sec A}{\tan A}=\csc A tanAsecA =cscA
下面是常见角度的锐角三角比比值，无穷大符号表示不存在：
0°0\degree0° 30°30\degree30° 45°45\degree45° 60°60\degree60° 90°90\degree90° sin\sinsin 000 12\dfrac{1}{2}21 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}22 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}23 111 cos\coscos 111 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}23 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}22 12\dfrac{1}{2}21 000 tan\tantan 000 33\dfrac{\sqrt{3}}{3}33 111
3\sqrt{3}3 ∞\infty∞ cot\cotcot ∞\infty∞ 3\sqrt{3}3 111 33\dfrac{\sqrt{3}}{3}33 000 sec\secsec 111 233\dfrac{2}{3}\sqrt{3}32 3 2\sqrt{2}2 222 ∞\infty∞ csc\csccsc ∞\infty∞ 222 2\sqrt{2}2 233\dfrac{2}{3}\sqrt{3}32 3 111
除了这些，我们也可以通过作出含 30°30\degree30° 或者 45°45\degree45° 的直角三角形，并以斜边为腰作出等腰三角形，拼出含有 15°15\degree15° 或 22.5°22.5\degree22.5° 的直角三角形。它们的三角比如下所示：
15°15\degree15° 22.5°22.5\degree22.5° 67.5°67.5\degree67.5° 75°75\degree75° sin\sinsin 6−24\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}46 −2 2−22\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}22−2 2+22\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}22+2 6+24\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}46 +2 cos\coscos 6+24\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}46 +2
2+22\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}22+2 2−22\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}22−2 6−24\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}46 −2 tan\tantan 2−32-\sqrt{3}2−3 2−1\sqrt{2}-12 −1 2****qrt{2}+12 +1 2+32+\sqrt{3}2+3 cot\cotcot 2+32+\sqrt{3}2+3 2****qrt{2}+12 +1 2−1\sqrt{2}-12 −1 2−32-\sqrt{3}2−3 sec\secsec
6−2\sqrt{6}-\sqrt{2}6 −2 4−22\sqrt{4-2\sqrt{2}}4−22 4+22\sqrt{4+2\sqrt{2}}4+22 6+2\sqrt{6}+\sqrt{2}6 +2 csc\csccsc 6+2\sqrt{6}+\sqrt{2}6 +2 4+22\sqrt{4+2\sqrt{2}}4+22 4−22\sqrt{4-2\sqrt{2}}4−22 6−2\sqrt{6}-\sqrt{2}6 −2
接着，让我们看看三角函数之间的关联。
2. 三角恒等式
相信大家都听说过 勾股定理。勾股定理的证明可能需要 弦图，常见的弦图有赵爽弦图：
它是从小正方形向外作四个全等的直角三角形得到大正方形，因此得到：
4(12ab)+(a−b)2=c24(\frac{1}{2}ab)+(a-b)^2=c^2 4(21 ab)+(a−b)2=c2
化简得到勾股定理：
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 a2+b2=c2
当然，还有一种是邹元治弦图：
它是从大正方形向内作四个全等的直角三角形得到小正方形，因此有：
(a+b)2=c2+4(12ab)(a+b)^2=c^2+4(\frac{1}{2}ab) (a+b)2=c2+4(21 ab)
化简得到勾股定理：
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 a2+b2=c2
有了这些之后，我们就可以正式去看看三角恒等式了。还是那个 Rt△ABC,∠C=90°Rt\triangle_{ABC},\angle C=90\degreeRt△ABC ,∠C=90°，如下图：
我们已经知道了，在这个直角三角形中，有下面这些关系：
{a2+b2=c2sinA=accosA=bc\begin{cases}a^2+b^2=c^2\\\\\sin A=\dfrac{a}{c}\\\\\cos A=\dfrac{b}{c}\end{cases} ⎩⎨⎧ a2+b2=c2sinA=ca cosA=cb
最上面的是刚刚证明过的勾股定理，看上去十分简洁。它包含的项是三边的平方，而下面两个式子正好含有了三边长度，且分母均为 ccc，因此我们也可以用下面两个式子刻意地去构造平方项：
{sin2A=a2c2cos2A=b2c2\begin{cases}\sin^2A=\dfrac{a^2}{c^2}\\\\\cos^2A=\dfrac{b^2}{c^2}\end{cases} ⎩⎨⎧ sin2A=c2a2 cos2A=c2b2
我们发现，这两个式子分母都是斜边的平方，而上面分别是两条直角边的平方，长得很像勾股定理了。现在，将两个式子相加，再代入勾股定理，就得到：
sin2A+cos2A=a2+b2c2=c2c2=1\sin^2A+\cos^2A=\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=\dfrac{c^2}{c^2}=1 sin2A+cos2A=c2a2+b2 =c2c2 =1
这个式子和勾股定理长得很像，对吧。实际上，我们带入 c=1c=1c=1 的特殊情况，根据两者的定义，就有 a=sinA,b=cosAa=\sin A,b=\cos Aa=sinA,b=cosA，于是得到了这个三角恒等式。
除此之外，我们利用 tanA\tan AtanA 以及 secA\sec AsecA，也可以得到一个恒等式：
tan2A****ec2A\tan^2A+1=\sec^2A tan2A****ec2A
原因很简单，带入 tanA=ab\tan A=\dfrac{a}{b}tanA=ba ，则左边就是 tan2A+1=a2b2+1=a2+b2b2=c2b2=sec2A\tan^2A+1=\dfrac{a^2}{b^2}+1=\dfrac{a^2+b^2}{b^2}=\dfrac{c^2}{b^2}=\sec^2Atan2A+1=b2a2 +1=b2a2+b2 =b2c2 =sec2A
同理适用于 cotA\cot AcotA 和 cscA\csc AcscA：
cot2A+1=csc2A\cot^2A+1=\csc^2A cot2A+1=csc2A
这个证明和上面很像，读者自证不难。
3. 三角函数的定义域扩展
回顾一下，我们刚才所说的关于三角函数的内容，你会发现它的适用范围很局限：都只存在于欧几里得平面中的直角三角形中（加上这几个字是为了确保三角形内角和是 180°180\degree180°），然而有人会问：为什么我们在计算器中看到的正弦函数图像是一条波浪线啊？而且好像也没有标角度符号啊？别急，接下来我会带你探究一下背后的原因。
3.1. 角度与弧度
我们先来解决一个问题：我们平时所说的测度（如长度、面积、体积）在题目中好像都可以不带单位。比如长度为3个单位，随便是什么单位；面积是9个平方单位，随便试什么单位；体积是27个立方单位，随便是什么单位。然而从来没有看到过题目中说 ∠A=3\angle A=3∠A=3，不带单位 °\degree°（度）有什么办法能够将它的度数符号去掉呢？
我们可以从单位圆中找到灵感：
众所周知，人们探秘了圆的周长和直径之间的比值探秘了好久，但我们都知道它是一个无理数，叫做 π\piπ。因此，我们可以用 π\piπ 来计算圆的周长：
C=πd=2πrC=\pi d=2\pi r C=πd=2πr
那么，如果我们要求圆心角为 θ°\theta\degreeθ° 所对的弧长呢？θ°\theta\degreeθ° 占 360°360\degree360° 的 θ360\dfrac{\theta}{360}360θ 份（我们同时去掉一个度数符号不会发生改变），同理，它所对的弧长 LLL 也占圆周长 CCC 的 θ360\dfrac{\theta}{360}360θ 份，因此，我们有：
L=θ360⋅C=πrθ180L=\dfrac{\theta}{360}\cdot C=\dfrac{\pi r\theta}{180} L=360θ ⋅C=180πrθ
上图是一个单位圆，也就是半径为 111 的圆，因此，L=πθ180L=\dfrac{\pi\theta}{180}L=180πθ 。这个时候，我们成功地把度数符号去掉了。由于单位圆半径为 111，得到了角度 θ\thetaθ 就相当于得到了圆心角所对的弧长 LLL，因此二者等价，我们可以用 LLL 来表示 θ\thetaθ，这就是所谓的弧度制。
我们有了弧度制，就可以去掉角度符号，换成几倍的 π\piπ。比如，(degree)180°=(radian)π(degree)180\degree=(radian)\pi(degree)180°=(radian)π。
你也可以练习一下，把常见角度转换成弧度，知道可以脱口而出下面几个结论：
0°=0,30°=16π,45°=14π,60°=13π,90°=12π0\degree=0,30\degree=\dfrac{1}{6}\pi,45\degree=\dfrac{1}{4}\pi,60\degree=\dfrac{1}{3}\pi,90\degree=\dfrac{1}{2}\pi 0°=0,30°=61 π,45°=41 π,60°=31 π,90°=21 π
120°=23π,135°=34π,150°=56π,180°=π,270°=32π,360°=2π120\degree=\dfrac{2}{3}\pi,135\degree=\dfrac{3}{4}\pi,150\degree=\dfrac{5}{6}\pi,180\degree=\pi,270\degree=\dfrac{3}{2}\pi,360\degree=2\pi 120°=32 π,135°=43 π,150°=65 π,180°=π,270°=23 π,360°=2π
如果有需要，你也可以算算，验证一下下面几个结论：
15°=112π,22.5°=18π,67.5°=38π,75°=512π15\degree=\dfrac{1}{12}\pi,22.5\degree=\dfrac{1}{8}\pi,67.5\degree=\dfrac{3}{8}\pi,75\degree=\dfrac{5}{12}\pi 15°=121 π,22.5°=81 π,67.5°=83 π,75°=125 π
3.2. 扩展定义域
相信你已经了解了锐角三角比的定义了，也已经知道了勾股定理。锐角三角比那些根据 sinA\sin AsinA 和 cosA\cos AcosA 的那些定义在任意角的三角比中也完全使用。
我们在小学学过，对于一个角而言，有两种定义，一种是静态定义：
> 角是由有公共端点的两条射线组成的图形，这个公共端点称为角的顶点，两条射线分别称为角的边；这种定义强调图形的静止状态，不涉及任何运动变化
还有一种动态定义如下：
> 角是一条射线绕其端点旋转而形成的图形，旋转前的射线称为始边，旋转后的射线称为终边；旋转的幅度决定了角的度量
当然，我们今天为了研究任意角的三角比（或者说弧度为任意实数的角的三角比），可以参考第二种动态定义，它包含了 [0°,360°][0\degree,360\degree][0°,360°] 的任意角的定义（对于 361°361\degree361°，可以看成是转了一圈又多转了 1°1\degree1°）。
一个好且有效的办法是借助平面直角坐标系，去理解三角函数。如下图所示，
（使用Python进行的绘图，技术原因，省略了坐标轴）
以第二象限角为例，我们按照动态定义，在半径为 rrr 的圆中做出一个角 θ∈(12π,π)\theta\in(\dfrac{1}{2}\pi,\pi)θ∈(21 π,π)，如图所示，绿色线段为始边，红色线段为终边。我们令红色线段与 xxx 轴的 夹角 为 ϕ\phiϕ，过终边与圆的交点 PPP 往 xxx 轴作垂线段，截距 为 yyy，xxx 轴上的 截距 为 xxx（详细见上图）。
由于 rrr 是半径，因此 rrr 恒为正数；然而，xxx 和 yyy 二者 受到象限的影响，从而导致有时为正，有时为负，当在一二象限时 yyy 为正，当在一四象限时 xxx 为正。这也导致在不同象限中，sin\sinsin 和 cos\coscos 函数结果的正负性会有所不同。如图所示的是第二象限的情况，此时，xxx 是在 xxx 轴的负方向上，故为负，而 yyy 在 xxx 轴的上方，故为正。
为什么要构造直角三角形？这是不是很熟悉？刚刚锐角三角比就是在欧式平面内的直角三角形中定义的，而这里正好也有一个欧式平面内的直角三角形，因此，套用刚才的定义：
sinθ=yrcosθ=xr\sin\theta=\cfrac{y}{r}\\\cos\theta=\cfrac{x}{r} sinθ=ry cosθ=rx
因此，我们也有：
tanθ=sinθcosθ=yx\tan\theta=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{y}{x} tanθ=cosθsinθ =xy
这三条结论对于任意角都适用。
根据终边所在的象限不同，三者的正负性也有所不同。简单来说可以用一句话概括：ASTCASTCASTC 原则。
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 对应字母 AAA SSS TTT CCC 字母含义解释 allallall，即全部为正 sin\sinsin，只有正弦为正 tan\tantan，只有正切为正 cos\coscos，只有余弦为正
我们能够很轻松地理解第一象限角的三角比恒为正一点，但是其它三点可能有一点难以理解。那么，现在我们来看三个例子，探究一下所谓的 ASTCASTCASTC 原则。
首先，让我们计算 θ=34π\theta=\dfrac{3}{4}\piθ=43 π 的 sin,cos,tan\sin,\cos,\tansin,cos,tan 的值
还是上面这张图，可知：
ϕ=π−θ=14π\phi=\pi-\theta=\dfrac{1}{4}\pi ϕ=π−θ=41 π
因此，就转换成了对应 ϕ\phiϕ 的三角比。如图，过点 PPP 作 PH⊥OHPH\perp OHPH⊥OH 于点 HHH，于是我们有了等腰 Rt△PHORt\triangle_{PHO}Rt△PHO ，其中 ∠PHO=12π\angle_{PHO}=\dfrac{1}{2}\pi∠PHO =21 π。注意到这里我们的 xxx 值为负，因此我们有了：
r=−2x=2y, x=−yr=-\sqrt{2}x=\sqrt{2}y,\,\,x=-y r=−2 x=2 y,x=−y
于是乎，我们可以带入求出我们的三个目标值：
sinθ=yr=y2y=22>0 cosθ=xr=x−2x=−22<0 tanθ=xy=x−x=−1<0\sin\theta=\cfrac{y}{r}=\cfrac{y}{\sqrt{2}y}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}>0\\\,\\ \cos\theta=\cfrac{x}{r}=\cfrac{x}{-\sqrt{2}x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}<0\\\,\\ \tan\theta=\cfrac{x}{y}=\cfrac{x}{-x}=-1<0sinθ=ry =2 yy =22 >0cosθ=rx =−2 xx =−22 <0tanθ=yx =−xx
=−1<0
所以第二象限角满足 ASTCASTCASTC 原则的 SSS。而且不难发现，在第二象限中，有下面的规律：
sinθ=sinϕ=sin(π−θ) cosθ=−cosϕ=−cos(π−θ) tanθ=−tanϕ=−tan(π−θ)\sin\theta=\sin\phi=\sin(\pi-\theta)\\\,\\ \cos\theta=-\cos\phi=-\cos(\pi-\theta)\\\,\\ \tan\theta=-\tan\phi=-\tan(\pi-\theta)sinθ=sinϕ=sin(π−θ)cosθ=−cosϕ=−cos(π−θ)tanθ=−tanϕ=−tan(π−θ)
这些实际上就是所谓的诱导公式的一部分，后面会提及。
接下来，算一下当 θ=43π\theta=\dfrac{4}{3}\piθ=34 π 时的 sin,cos,tan\sin,\cos,\tansin,cos,tan 值。你可以自己根据上面的文字自行绘图计算，再看看下面的解释。
（依旧是Python绘图）
我们刚刚提到过，ϕ\phiϕ 是终边与 xxx 轴的 夹角，因此它始终是个锐角！当我们的 θ\thetaθ 是第三象限角时（如上图）它会和一部分的 θ\thetaθ 重合，如上。因此，当 θ=43π\theta=\dfrac{4}{3}\piθ=34 π 时，有：
ϕ=θ−π=13π\phi=\theta-\pi=\dfrac{1}{3}\pi ϕ=θ−π=31 π
因此，根据 13π\dfrac{1}{3}\pi31 π 的锐角三角比，以及正负性，我们知道：
r=−2x=−233y,y=3xr=-2x=-\dfrac{2}{3}\sqrt{3}y,y=\sqrt{3}x r=−2x=−32 3 y,y=3 x
所以，带入得到：
sinθ=yr=y−233y=−32<0 cosθ=xr=x−2x=−12<0 tanθ=yx=3xx=3>0\sin\theta=\cfrac{y}{r}=\cfrac{y}{-\dfrac{2}{3}\sqrt{3}y}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}<0\\\,\\ \cos\theta=\cfrac{x}{r}=\cfrac{x}{-2x}=-\dfrac{1}{2}<0\\\,\\ \tan\theta=\cfrac{y}{x}=\cfrac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}>0sinθ=ry =−32 3 yy =−23 <0cosθ=rx =−2xx
=−21 <0tanθ=xy =x3 x =3 >0
因此第三象限角符合 ASTCASTCASTC 中的 TTT。
同样的，不难发现：
sinθ=−sinϕ=−sin(θ−π) cosθ=−cosϕ=−cos(θ−π) tanθ=tanϕ=tan(θ−π)\sin\theta=-\sin\phi=-\sin(\theta-\pi)\\\,\\ \cos\theta=-\cos\phi=-\cos(\theta-\pi)\\\,\\ \tan\theta=tan\phi=\tan(\theta-\pi)sinθ=−sinϕ=−sin(θ−π)cosθ=−cosϕ=−cos(θ−π)tanθ=tanϕ=tan(θ−π)
最后，看看 θ=116π\theta=\dfrac{11}{6}\piθ=611 π 的情形，依然算出 sin,cos,tan\sin,\cos,\tansin,cos,tan 的值。你依旧应该自己先尝试计算，再往下看。
（仍旧Python绘图）
这次我们得到的关系是 θ+ϕ=2π\theta+\phi=2\piθ+ϕ=2π，因此：
ϕ=2π−θ=16π\phi=2\pi-\theta=\dfrac{1}{6}\pi ϕ=2π−θ=61 π
于是，我们能得到：
r=−2y=233x,x=−3yr=-2y=\dfrac{2}{3}\sqrt{3}x,x=-\sqrt{3}y r=−2y=32 3 x,x=−3 y
带入，有：
sinθ=yr=y−2y=−12<0 cosθ=xr=x233x=32>0 tanθ=yx=y−3y=−33<0\sin\theta=\cfrac{y}{r}=\cfrac{y}{-2y}=-\dfrac{1}{2}<0\\\,\\ \cos\theta=\cfrac{x}{r}=\cfrac{x}{\dfrac{2}{3}\sqrt{3}x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}>0\\\,\\ \tan\theta=\cfrac{y}{x}=\cfrac{y}{-\sqrt{3}y}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}<0sinθ=ry =−2yy =−21
<0cosθ=rx =32 3 xx =23 >0tanθ=xy =−3 yy =−33 <0
第四象限角明显符合 ASTCASTCASTC 原则的 CCC 这一点。
同时，易发现如下特点：
sinθ=−sinϕ=−sin(2π−θ) cosθ=cosϕ=cos(2π−θ) tanθ=−tanϕ=−tan(2π−θ)\sin\theta=-\sin\phi=-\sin(2\pi-\theta)\\\,\\ \cos\theta=\cos\phi=\cos(2\pi-\theta)\\\,\\ \tan\theta=-\tan\phi=-\tan(2\pi-\theta)sinθ=−sinϕ=−sin(2π−θ)cosθ=cosϕ=cos(2π−θ)tanθ=−tanϕ=−tan(2π−θ)
我们知道，对于 361°361\degree361°，可以写成 360°+1°360\degree+1\degree360°+1°，因此，实际上 361°=1°361\degree=1\degree361°=1°；那么 −1°-1\degree−1° 呢？我们可以加上 360°360\degree360°，得到 359°359\degree359°。概括地说，任意一个角度都可以表示成 n⋅360°+a°(n∈Z,a∈[0°,360°))n\cdot360\degree+a\degree(n\in
Z,a\in[0\degree,360\degree))n⋅360°+a°(n∈Z,a∈[0°,360°))。换成弧度制，就是：RAD=n⋅π+rad(n∈Z,rad∈[0,2π))RAD=n\cdot\pi+rad(n\in Z,rad\in[0,2\pi))RAD=n⋅π+rad(n∈Z,rad∈[0,2π))。
那么，根据这一点，我们就可以将任意角转换成在区间 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 中的角，因此可以就此求出任意角的三角比。
恭喜你，学会了任意角的三角比。接下来让我们看看六大函数的图像。
1. y=sinxy=\sin{x}y=sinx
2. y=cosxy=\cos{x}y=cosx
3. y=tanxy=\tan{x}y=tanx 或 y=tgxy=\tg{x}y=tgx
4. y=cotxy=\cot{x}y=cotx 或 y=ctgxy=\ctg{x}y=ctgx
5. y=secxy=\sec{x}y=secx
6. y=cscxy=\csc{x}y=cscx
由于六大函数(六大善人)都是以角为自变量的函数，因此它们都是有周期性的。其中，sin,cos,sec,csc\sin,\cos,\sec,\cscsin,cos,sec,csc 都以 2π2\pi2π 为周期，而 tg,ctg\tg,\ctgtg,ctg 都以 π\piπ 为周期。甚至，sin,tg,ctg,csc\sin,\tg,\ctg,\cscsin,tg,ctg,csc 都是奇函数，而 cos,sec\cos,\seccos,sec 是偶函数。
4. 诱导公式
我们在上面已经看到了 π−θ,θ−π,2π−θ\pi-\theta,\theta-\pi,2\pi-\thetaπ−θ,θ−π,2π−θ 它们的正弦、余弦、正切与 θ\thetaθ 的正弦、余弦、正切有什么关系。这都是诱导公式中的一部分。现在，我们来看看到底什么是诱导公式。
4.1. Θ\THETAΘ 和 Θ+2ΠN(N∈Z)\THETA+2\PI N(N\IN Z)Θ+2ΠN(N∈Z)
我们知道，给一个角度加上或减去 360°360\degree360° 的整数倍，它的大小不变。同样适用于弧度，弧度 θ\thetaθ 加上或者减去整数倍的 2π2\pi2π，其大小不变。因为三角函数研究对象是角，显然这两者的三角比的值相等。因此，我们有：
sinθ+2πn=sinθ cosθ+2πn=cosθ tanθ+2πn=tanθ cotθ+2πn=cotθ secθ+2πn=secθ cscθ+2πn=cscθ\sin{\theta+2\pi n}=\sin\theta\\\,\\ \cos{\theta+2\pi n}=\cos\theta\\\,\\ \tan{\theta+2\pi n}=\tan\theta\\\,\\ \cot{\theta+2\pi n}=\cot\theta\\\,\\ \sec{\theta+2\pi n}=\sec\theta\\\,\\ \csc{\theta+2\pi
n}=\csc\thetasinθ+2πn=sinθcosθ+2πn=cosθtanθ+2πn=tanθcotθ+2πn=cotθsecθ+2πn=secθcscθ+2πn=cscθ
4.2. Θ\THETAΘ 和 Θ±Π\THETA±\PIΘ±Π
事实上，不管是 θ+π\theta+\piθ+π 还是 θ−π\theta-\piθ−π，都表示同一个值。我们在上面探究过了，它们满足下面的关系：
sinθ±π=−sinθ cosθ±π=−cosθ tanθ±π=tanθ cotθ±π=cotθ secθ±π=−secθ cscθ±π=−cscθ\sin{\theta±\pi}=-\sin\theta\\\,\\ \cos{\theta±\pi}=-cos\theta\\\,\\ \tan{\theta±\pi}=\tan\theta\\\,\\ \cot{\theta±\pi}=\cot\theta\\\,\\ \sec{\theta±\pi}=-\sec\theta\\\,\\
\csc{\theta±\pi}=-\csc\thetasinθ±π=−sinθcosθ±π=−cosθtanθ±π=tanθcotθ±π=cotθsecθ±π=−secθcscθ±π=−cscθ
4.3. Θ\THETAΘ 和 2Π−Θ2\PI-\THETA2Π−Θ
这也在上面探究过，有以下结论：
sin2π−θ=−sinθ cos2π−θ=cosθ tan2π−θ=−tanθ cot2π−θ=−cotθ sec2π−θ=secθ csc2π−θ=−cscθ \sin{2\pi-\theta}=-\sin\theta\\\,\\ \cos{2\pi-\theta}=\cos\theta\\\,\\ \tan{2\pi-\theta}=-\tan\theta\\\,\\ \cot{2\pi-\theta}=-\cot\theta\\\,\\ \sec{2\pi-\theta}=\sec\theta\\\,\\
\csc{2\pi-\theta}=-\csc\theta\\\,\\sin2π−θ=−sinθcos2π−θ=cosθtan2π−θ=−tanθcot2π−θ=−cotθsec2π−θ=secθcsc2π−θ=−cscθ
4.4. Θ\THETAΘ 和 Π−Θ\PI-\THETAΠ−Θ
这也在上面探究过，结论如下：
sinπ−θ=sinθ cosπ−θ=−cosθ tanπ−θ=−tanθ cotπ−θ=−cotθ secπ−θ=−secθ cscπ−θ=cscθ\sin{\pi-\theta}=\sin\theta\\\,\\ \cos{\pi-\theta}=-\cos\theta\\\,\\ \tan{\pi-\theta}=-\tan\theta\\\,\\ \cot{\pi-\theta}=-\cot\theta\\\,\\ \sec{\pi-\theta}=-\sec\theta\\\,\\
\csc{\pi-\theta}=\csc\thetasinπ−θ=sinθcosπ−θ=−cosθtanπ−θ=−tanθcotπ−θ=−cotθsecπ−θ=−secθcscπ−θ=cscθ
4.5. Θ\THETAΘ 和 12Π−Θ\DFRAC{1}{2}\PI-\THETA21 Π−Θ
事情开始变得有趣了。现在没有 π\piπ 或者 2π2\pi2π，只有 12π\dfrac{1}{2}\pi21 π，即 90°90\degree90°。想一想，什么时候会出现两个角的弧度分别为 θ\thetaθ 和 12π−θ\dfrac{1}{2}\pi-\theta21 π−θ 呢？两角互余！直角三角形！
利用我们最开始的定义，我们知道，sinA=ac\sin A=\cfrac{a}{c}sinA=ca ，它的余角的正弦值为 sinB=bc\sin B=\cfrac{b}{c}sinB=cb 。等一等，这怎么那么眼熟？没错，这正是 cosA\cos AcosA 的值。因此，我们知道了 sin12π−θ=cosθ\sin{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\cos\thetasin21 π−θ=cosθ。同样的道理，我们知道：
sin12π−θ=cosθ cos12π−θ=sinθ tan12π−θ=cotθ cot12π−θ=tanθ sec12π−θ=cscθ csc12π−θ=secθ\sin{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\cos\theta\\\,\\ \cos{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\sin\theta\\\,\\ \tan{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\cot\theta\\\,\\ \cot{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\tan\theta\\\,\\
\sec{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\csc\theta\\\,\\ \csc{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\sec\thetasin21 π−θ=cosθcos21 π−θ=sinθtan21 π−θ=cotθcot21 π−θ=tanθsec21 π−θ=cscθcsc21 π−θ=secθ
4.6. Θ\THETAΘ 和 Θ+12Π\THETA+\DFRAC{1}{2}\PIΘ+21 Π
更有趣的还在后面。这次不再是两角互余，而是两角之差为 12π\dfrac{1}{2}\pi21 π，该如何计算？
由于各位大佬学过编程，我们可以进行骗分的操作，直接赌它的关系是唯一的，且带入特殊值进行计算，如 θ=16π\theta=\dfrac{1}{6}\piθ=61 π，最后解得两角三角比的关系。但是能否数学意义上的证明它呢？
我们肯定会想到构造大小为 θ\thetaθ 的角和一个直角，使得代数式之间的关系可视化。想想我们能够如何进行转换？上面我们利用了一个直角三角形，那么，这次不妨再用一个与之全等的直角三角形来探究这道题。
这是我们人人熟知的三垂直全等模型。我们不妨令 θ=∠AOP, AP=y, PO=x, AO=OB=r\theta=\angle_{AOP},\,\,AP=y,\,\,PO=x,\,\,AO=OB=rθ=∠AOP ,AP=y,PO=x,AO=OB=r，因此我们可以根据全等得到 OQ=−y, QB=xOQ=-y,\,\,QB=xOQ=−y,QB=x 且 ∠BOP=θ+12π\angle_{BOP}=\theta+\dfrac{1}{2}\pi∠BOP =θ+21 π。
于是乎，我们便有 sinθ=yr\sin\theta=\cfrac{y}{r}sinθ=ry 一个式子。如何考虑 θ+12π\theta+\dfrac{1}{2}\piθ+21 π 的正弦值呢？利用上面已经得到的诱导公式的值，我们可以知道：
sinθ+12π=sinπ−θ−12π=sin12π−θ=cosθ\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=\sin{\pi-\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=\sin{\dfrac{1}{2}\pi-\theta}=\cos\theta sinθ+21 π=sinπ−θ−21 π=sin21 π−θ=cosθ
有了这个模型的辅助，接下来的结论就都可以得到，读者自证不难：
sinθ+12π=cosθ cosθ+12π=−sinθ tanθ+12π=−cotθ cotθ+12π=−tanθ secθ+12π=−cscθ cscθ+12π=secθ\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=\cos\theta\\\,\\ \cos{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=-\sin\theta\\\,\\ \tan{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=-\cot\theta\\\,\\ \cot{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=-\tan\theta\\\,\\
\sec{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=-\csc\theta\\\,\\ \csc{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=\sec\thetasinθ+21 π=cosθcosθ+21 π=−sinθtanθ+21 π=−cotθcotθ+21 π=−tanθsecθ+21 π=−cscθcscθ+21 π=secθ
4.7. Θ\THETAΘ 和 Θ−12Π\THETA-\DFRAC{1}{2}\PIΘ−21 Π
θ\thetaθ 和 θ−12π\theta-\dfrac{1}{2}\piθ−21 π，看着有点眼熟啊。如果我们令 ϕ=θ−12π\phi=\theta-\dfrac{1}{2}\piϕ=θ−21 π，那不就是 ϕ\phiϕ 和 ϕ+12π\phi+\dfrac{1}{2}\piϕ+21 π 的关系吗？
举个例子：我们算过，sinθ+12π=cosθ\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=\cos\thetasinθ+21 π=cosθ，那么把此处的 θ\thetaθ 换成 ϕ\phiϕ：
sinϕ+12π=cosϕ\sin{\phi+\dfrac{1}{2}\pi}=\cos\phi sinϕ+21 π=cosϕ
接着进行换元：令 ϕ=θ−12π\phi=\theta-\dfrac{1}{2}\piϕ=θ−21 π，于是：
sinϕ−12π+12π=cosϕ−12π\sin{\phi-\dfrac{1}{2}\pi+\dfrac{1}{2}\pi}=\cos{\phi-\dfrac{1}{2}\pi} sinϕ−21 π+21 π=cosϕ−21 π
因此我们得到了：
cosθ−12π=sinθ\cos{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=\sin\theta cosθ−21 π=sinθ
同理，我们可以得到：
sinθ−12π=−cosθ cosθ−12π=sinθ tanθ−12π=−cotθ cotθ−12π=−tanθ secθ−12π=cscθ cscθ−12π=−secθ\sin{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=-\cos\theta\\\,\\ \cos{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=\sin\theta\\\,\\ \tan{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=-\cot\theta\\\,\\ \cot{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=-\tan\theta\\\,\\
\sec{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=\csc\theta\\\,\\ \csc{\theta-\dfrac{1}{2}\pi}=-\sec\thetasinθ−21 π=−cosθcosθ−21 π=sinθtanθ−21 π=−cotθcotθ−21 π=−tanθsecθ−21 π=cscθcscθ−21 π=−secθ
嗯对，读者自证不难。
4.8 一个容易记忆的口诀
我们都很熟悉一个口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，这个经常会出现在网络上各种小说和短视频中。但是它到底是什么意思呢？
4.8.1 奇变偶不变
“奇变偶不变”意思是：三角函数的参数形式是 ±θ+k2π±\theta+\dfrac{k}{2}\pi±θ+2k π，其中 kkk 是奇数则要将三角函数进行改变，kkk 是偶数则不用变。具体怎么变，我们在上面已经看到过了，sin\sinsin 和 cos\coscos 互相转化，tan\tantan 和 cot\cotcot 互相转化，sec\secsec 和 csc\csccsc 互相转化，即对应的“正”函数和“余”函数之间的变化，加上或者减去一个前缀 cococo。
例如，sec52π−θ\sec{\dfrac{5}{2}\pi-\theta}sec25 π−θ 的结果是什么呢？函数的参数是 52π−θ\dfrac{5}{2}\pi-\theta25 π−θ，即 −θ+k2π (k=5)-\theta+\dfrac{k}{2}\pi\,\,(k=5)−θ+2k π(k=5)，因此 kkk 为奇数，函数 sec\secsec 会变成函数 csc\csccsc。放心大胆地给 csc\csccsc 传入一个 θ\thetaθ 作为参数即可，至于其正负性先放一放。
那么，tanθ−3π\tan{\theta-3\pi}tanθ−3π 结果有时什么呢？参数是 θ−3π\theta-3\piθ−3π，或者写成 θ−k2π (k=6)\theta-\dfrac{k}{2}\pi\,\,(k=6)θ−2k π(k=6)，由于 kkk 是偶数，所以函数不用变化，直接写成 tanθ\tan\thetatanθ，至于正负性也暂时放放。
4.8.2 符号看象限
“符号看象限”稍微有点难以理解。我们知道原式的结果是 唯一 的，因此，不妨假设角 θ\thetaθ 是锐角（即第一象限角）。接着找出 ±θ+k2π±\theta+\dfrac{k}{2}\pi±θ+2k π 所在的象限，最后根据 ASTCASTCASTC 原则判断 原函数 传入这个参数的结果是正是负。
举个例子，拿我们上面探究过的 sinθ+12π\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}sinθ+21 π 看看究竟怎么回事：
1. 根据“奇变偶不变”，可以发现 k=1k=1k=1，因此它是奇数，函数需要发生改变，加上前缀 cococo 变成 cosθ\cos\thetacosθ；
2. 根据“符号看象限”，假设 θ\thetaθ 为第一象限角，那么 θ+12π\theta+\dfrac{1}{2}\piθ+21 π 就是第二象限角，而 ASTCASTCASTC 原则提到，第二象限角的 sin\sinsin 值为正，因此符号为正。
综上所述，sinθ+12π=cosθ\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}=\cos\thetasinθ+21 π=cosθ
再随便写一个例子：csc72π−θ\csc{\dfrac{7}{2}\pi-\theta}csc27 π−θ 的值是什么？
1. 根据“奇变偶不变”，可以发现 k=7k=7k=7，是奇数，因此需要发生改变，把 csc\csccsc 去掉 cococo 前缀变成 secθ\sec\thetasecθ；
2. 根据“符号看象限”，假设 θ\thetaθ 为第一象限角（甚至于你可以假设它是一个具体的值，如 14π\dfrac{1}{4}\pi41 π），那么 72−θ ⟺ 32π−θ>32π−12π=π\dfrac{7}{2}-\theta\iff\dfrac{3}{2}\pi-\theta>\dfrac{3}{2}\pi-\dfrac{1}{2}\pi=\pi27 −θ⟺23 π−θ>23 π−21 π=π，因此它是第三象限角。
别忘了 cscθ=1sinθ\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}cscθ=sinθ1 ，也就是说 csc\csccsc 和 sin\sinsin 的正负性保持一致（∞\infty∞ 的情况除外），而 ASTCASTCASTC 中表示第三象限为正的是 TTT，即 tan\tantan，不是 sin\sinsin，因此它的结果是负的，符号为负。
综上所述，csc72−θ=−secθ\csc{\dfrac{7}{2}-\theta}=-\sec\thetacsc27 −θ=−secθ。
5. 和差角公式
让你计算 sinθ+12π\sin{\theta+\dfrac{1}{2}\pi}sinθ+21 π，我相信这对于你而言一定是轻而易举了。那么，更一般的，如果计算 sinα+β\sin{\alpha+\beta}sinα+β 你应该怎么算呢？
5.1. 正余弦的和角公式
我们不妨像之前一样，再次把目光放在三垂直模型身上。像这样：
（依旧Python绘图）
外层这是一个矩形 ABCDABCDABCD（切记不一定要是正方形！）里面套了一个三垂直模型，已经标出 ∠α\angle\alpha∠α 和 ∠β\angle\beta∠β，我们设 AFAFAF 的长度为 111，以便于后续计算。
我们知道，sinA=ac\sin A=\dfrac{a}{c}sinA=ca ，因此可以恒等变形得到 a=csinAa=c\sin Aa=csinA。特别的，当斜边为 111 时，可以得到 a=sinAa=\sin Aa=sinA。同样的道理，b=cosAb=\cos Ab=cosA。
这样子，∠β\angle\beta∠β 在（用红色标出直角的）直角三角形中的对边 EFEFEF 长度为 sinβ\sin\betasinβ，邻边 AEAEAE 长度为 cosβ\cos\betacosβ。同理可得，最下面的直角三角形中，∠α\angle\alpha∠α 的对边 BEBEBE 长度为 sinαcosβ\sin\alpha\cos\betasinαcosβ，邻边 ABABAB 长度为 cosαcosβ\cos\alpha\cos\betacosαcosβ。
貌似无法继续推出其它边的长度了，但是别忘了我们用的是三垂直模型！因此，我们可以求出 ∠AEB\angle AEB∠AEB 的大小为 12π−α\dfrac{1}{2}\pi-\alpha21 π−α，从而得到 ∠CEF\angle CEF∠CEF 的大小为 α\alphaα。由于先前已经得到了 EF=sinβEF=\sin\betaEF=sinβ，所以，CE=cosαsinβ,CF=sinαsinβCE=\cos\alpha\sin\beta,CF=\sin\alpha\sin\betaCE=cosαsinβ,CF=sinαsinβ。
根据上图，可以得到 ∠BAF=α+β\angle BAF=\alpha+\beta∠BAF=α+β，因此，继续构造直角三角形从而得到 sinα+β\sin{\alpha+\beta}sinα+β 以及 cosα+β\cos{\alpha+\beta}cosα+β 的长度。如图，过 FFF 作 FH⊥ABFH\perp ABFH⊥AB 于 HHH，则有 FH=sinα+β,AH=cosα+βFH=\sin{\alpha+\beta},AH=\cos{\alpha+\beta}FH=sinα+β,AH=cosα+β。
由矩形的判定可以知道，四边形 CFHBCFHBCFHB 为矩形，因此，CF=HB,FH=BCCF=HB,FH=BCCF=HB,FH=BC，于是我们有：
sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβcosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ\sin{\alpha+\beta}=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\\cos{\alpha+\beta}=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβcosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ
5.2. 正切的和角公式
接着来看看 tanα+β\tan{\alpha+\beta}tanα+β 等于什么。
我们从 tanθ=sinθcosθ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}tanθ=cosθsinθ 的定义出发，可以得到下面的结果：
tanα+β=sinα+βcosα+β=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ−sinαsinβ=sinαcosβcosαcosβ−sinαsinβ+cosαsinβcosαcosβ−sinαsinβ=sinαcosβ(sinαtanα)cosβ−sinα(cosβtanβ)+cosαsinβcosα(sinβtanβ)−(cosαtanα)sinβ=sinαcosβsinαcosβ(1tanα−tanβ)+cosαsinβcosαsinβ(1tanβ−tanα)=tanα1−tanαtanβ+tanβ1−tanαtanβ=tanα+tanβ1−tanαtanβ\,\,\,\,\,\,\,\tan{\alpha+\beta}\\
=\cfrac{\sin{\alpha+\beta}}{\cos{\alpha+\beta}}\\ =\cfrac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\\ =\cfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}+\cfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\\
=\cfrac{\sin\alpha\cos\beta}{(\cfrac{\sin\alpha}{\tan\alpha})\cos\beta-\sin\alpha(\cos\beta\tan\beta)}+\cfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha(\cfrac{\sin\beta}{\tan\beta})-(\cos\alpha\tan\alpha)\sin\beta}\\
=\cfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\cos\beta(\cfrac{1}{\tan\alpha}-\tan\beta)}+\cfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\sin\beta(\cfrac{1}{\tan\beta}-\tan\alpha)}\\ =\cfrac{\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\beta}+\cfrac{\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\
=\cfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}tanα+β=cosα+βsinα+β =cosαcosβ−sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβ =cosαcosβ−sinαsinβsinαcosβ +cosαcosβ−sinαsinβcosαsinβ =(tanαsinα )cosβ−sinα(cosβtanβ)sinαcosβ +cosα(tanβsinβ )−(cosαtanα)sinβcosαsinβ =sinαcosβ(tanα1 −tanβ)sinαcosβ +cosαsinβ(tanβ1
−tanα)cosαsinβ =1−tanαtanβtanα +1−tanαtanβtanβ =1−tanαtanβtanα+tanβ
于是我们历经千辛万苦推导出了正切的和角公式：
tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ\tan{\alpha+\beta}=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} tanα+β=1−tanαtanβtanα+tanβ
5.3. 差角公式
形如 sinα+β=⋯\sin{\alpha+\beta}=\cdotssinα+β=⋯ 的公式叫做和角公式。顾名思义，形如 sinα−β=⋯\sin{\alpha-\beta}=\cdotssinα−β=⋯ 的公式叫做差角公式。
差角公式无需再画图推导。我们以 sinα−β\sin{\alpha-\beta}sinα−β 为例。根据有理数的运算法则，可以知道 α−β=α+(−β)\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)α−β=α+(−β)，因此：
sinα−β=sinα+(−β)=sinαcos(−β)+cosαsin(−β)=sinαcosβ−cosαsinβ\,\,\,\,\,\,\sin{\alpha-\beta}\\ =\sin{\alpha+(-\beta)}\\ =\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)\\ =\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\betasinα−β=sinα+(−β)=sinαcos(−β)+cosαsin(−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
最后一步只是根据奇函数和偶函数的性质得到。sinx\sin xsinx 是奇函数，因此 sin(−x)=−sinx\sin(-x)=-\sin xsin(−x)=−sinx；cosx\cos xcosx 是偶函数，因此 cos(−x)=cosx\cos(-x)=\cos xcos(−x)=cosx。所以：
sinα−β=sinαcosβ−cosαsinβ\sin{\alpha-\beta}=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta sinα−β=sinαcosβ−cosαsinβ
同样的道理，我们有：
cosα−β=cosαcosβ+sinαsinβ\cos{\alpha-\beta}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta cosα−β=cosαcosβ+sinαsinβ
还有：
tanα−β=tanα−tanβ1+tanαtanβ\tan{\alpha-\beta}=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} tanα−β=1+tanαtanβtanα−tanβ
这个留给你来证明。（提示：正切的差角公式利用了正切是奇函数这一点）
5.4. 二倍角公式
现在如果让你来算 sin2θ\sin{2\theta}sin2θ，简直易如反掌：
令 α=β=θ\alpha=\beta=\thetaα=β=θ，则 sin2θ=sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ=2sinθcosθ\sin{2\theta}=\sin{\alpha+\beta}=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=2\sin\theta\cos\thetasin2θ=sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ=2sinθcosθ
所以：
sin2θ=2sinθcosθ\sin{2\theta}=2\sin\theta\cos\theta sin2θ=2sinθcosθ
同样的道理：
cos2θ=cos2θ−sin2θ\cos{2\theta}=\cos^2\theta-\sin^2\theta cos2θ=cos2θ−sin2θ
以及：
tan2θ=2tanθ1−tan2θ\tan{2\theta}=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} tan2θ=1−tan2θ2tanθ
特别的，余弦的二倍角公式还可以经过变形，得到：
cos2θ=cos2θ+sin2θ−2sin2θ=1−2sin2θ\cos{2\theta}=\cos^2\theta+\sin^2\theta-2\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta cos2θ=cos2θ+sin2θ−2sin2θ=1−2sin2θ
或者：
cos2θ=2cos2θ−cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1\cos{2\theta}=2\cos^2\theta-\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1 cos2θ=2cos2θ−cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1
于是，进一步变形，我们就得到了：
sin2θ=1−cos2θ2 cos2θ=1+cos2θ2\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos{2\theta}}{2}\\\,\\ \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos{2\theta}}{2}sin2θ=21−cos2θ cos2θ=21+cos2θ
※5.5. 三倍角公式
这是一个比较冷门的话题。
为了有时候计算一些冷门角度的三角比，比如我的某个兄弟想要探究sin20°，我们可以使用到三倍角公式。
先看看如何推导出三倍角公式：
sin3θ=sinθ+2θ=sinθcos2θ+cosθsin2θ=sinθ(cos2θ−sin2θ)+cosθ(2sinθcosθ)=sinθcos2θ−sin3θ+2sinθcos2θ=3sinθcos2θ−sin3θ=3sinθ(1−sin2θ)−sin3θ=3sinθ−3sin3θ−sin3θ=3sinθ−4sin3θ\,\,\,\,\,\,\sin{3\theta}\\ =\sin{\theta+2\theta}\\ =\sin\theta\cos{2\theta}+\cos\theta\sin{2\theta}\\
=\sin\theta(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+\cos\theta(2\sin\theta\cos\theta)\\ =\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta+2\sin\theta\cos^2\theta\\ =3\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta\\ =3\sin\theta(1-\sin^2\theta)-\sin^3\theta\\ =3\sin\theta-3\sin^3\theta-\sin^3\theta\\
=3\sin\theta-4\sin^3\thetasin3θ=sinθ+2θ=sinθcos2θ+cosθsin2θ=sinθ(cos2θ−sin2θ)+cosθ(2sinθcosθ)=sinθcos2θ−sin3θ+2sinθcos2θ=3sinθcos2θ−sin3θ=3sinθ(1−sin2θ)−sin3θ=3sinθ−3sin3θ−sin3θ=3sinθ−4sin3θ
以及：
cos3θ=cos2θ+θ=cos2θcosθ−sin2θsinθ=(cos2θ−sin2θ)cosθ−(2sinθcosθ)sinθ=cos3θ−sin2θcosθ−2sin2θcosθ=cos3θ−3sin2θcosθ=cos3θ−3(1−cos2θ)cosθ=cos3θ−3cosθ+3cos3θ=4cos3θ−3cosθ\,\,\,\,\,\,\cos{3\theta}\\ =\cos{2\theta+\theta}\\ =\cos{2\theta}\cos\theta-\sin{2\theta}\sin\theta\\
=(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\cos\theta-(2\sin\theta\cos\theta)\sin\theta\\ =\cos^3\theta-\sin^2\theta\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta\\ =\cos^3\theta-3\sin^2\theta\cos\theta\\ =\cos^3\theta-3(1-\cos^2\theta)\cos\theta\\ =\cos^3\theta-3\cos\theta+3\cos^3\theta\\
=4\cos^3\theta-3\cos\thetacos3θ=cos2θ+θ=cos2θcosθ−sin2θsinθ=(cos2θ−sin2θ)cosθ−(2sinθcosθ)sinθ=cos3θ−sin2θcosθ−2sin2θcosθ=cos3θ−3sin2θcosθ=cos3θ−3(1−cos2θ)cosθ=cos3θ−3cosθ+3cos3θ=4cos3θ−3cosθ
现在是时候帮助我兄弟算出这个诡异的正弦值了：我们设 sin20°=x\sin{20\degree}=xsin20°=x，因为 sin60°=32\sin{60\degree}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin60°=23 ，所以可以列出方程：
3x−4x3=323x-4x^3=\dfrac{\sqrt{3}}{2} 3x−4x3=23
但愿我的那个兄弟会解一元三次方程。
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参考文献：《普林斯顿微积分》
