如果我们定义 222 个数列 x,yx,yx,y 满足
yi=i+⌊axi+b⌋ (k≥0,b≥0,k+b>0)y_i=i+\lfloor ax_i+b\rfloor\ (k≥0,b≥0,k+b>0) yi =i+⌊axi +b⌋ (k≥0,b≥0,k+b>0)
并且令 x1=1x_1=1x1 =1，同时递推构造
xi=mex({0,x1,y1,x2,y2,...,xi−1,yi−1}) (i≥2)x_i=mex(\{0,x_1,y_1,x_2,y_2,...,x_{i-1},y_{i-1}\})\ (i≥2) xi =mex({0,x1 ,y1 ,x2 ,y2 ,...,xi−1 ,yi−1 }) (i≥2)
然后就可以注意到这么一个式子：
limi→∞xii=a2+4−a2+1\lim_{i\rightarrow\infty}\frac{x_i}{i}=\frac{\sqrt{a^2+4}-a}{2}+1 i→∞lim ixi =2a2+4 −a +1
虽然我没有办法证明它，但这个我用瞪眼法看出的等式似乎没有问题，毕竟我还没有发现任何一个反例。
上式中的 xii\dfrac{x_i}{i}ixi 在 i→∞i\rightarrow\inftyi→∞ 时与 bbb 无关是意料之中的事。
特别地，如果令 a=1a=1a=1，那么就有
limi→∞xii=limi→∞yixi=5+12\lim_{i\rightarrow\infty}\frac{x_i}{i}=\lim_{i\rightarrow\infty}\frac{y_i}{x_i}=\frac{\sqrt{5}+1}{2} i→∞lim ixi =i→∞lim xi yi =25 +1
再令 b=0b=0b=0，构造出来的数列就长这样：
{x,y}={{1,2},{3,5},{4,7},{6,10},{8,13},{9,15},{11,18},{12,20}...}\{x,y\}=\{\{1,2\},\{3,5\},\{4,7\},\{6,10\},\{8,13\},\{9,15\},\{11,18\},\{12,20\}...\} {x,y}={{1,2},{3,5},{4,7},{6,10},{8,13},{9,15},{11,18},{12,20}...}
这个数列很特殊，我发现它可以被应用于一种类似 NimNimNim 游戏的博弈游戏当中。
游戏规则是这样的：有 222 堆石子和 222 位玩家，玩家依次取走若干颗石子，每次只能选择 111 堆或 222 堆不为空的石子，然后同时从这 111 堆或 222 堆石子中取走相同数量的不为 000 的石子，可以全部取完但不能不取，如果轮到某一方取但没有石子可取了，那么这位玩家就输了。
可以证明，如果记这 222 堆石子中数量较少的一堆有 mmm 颗石子，数量较多的一堆有 nnn 颗石子，那么如果 {m,n}\{m,n\}{m,n} 存在于刚才那个特殊的 {x,y}\{x,y\}{x,y} 数列中，先手必败，反之先手必胜。
上述这么多结论与思考，都是我在学校里玩游戏玩出来的，可见游戏的重要性。
嗯，所以有人能够证明我一开始提出的结论吗？
