> 本帖用到的基础知识较多，请在拥有一定数学基础后学习。
1、三角函数的定义
在平面直角坐标系中，若点 PPP 的坐标为 (1,0)(1,0)(1,0)，将 PPP 点绕原点逆时针旋转 θ\thetaθ 度，记当前点 PPP 的横坐标为 PxP_xPx ，纵坐标为 PyP_yPy ，则有：
sin(θ)=Pycos(θ)=Pxtan(θ)=PyPx=sin(θ)cos(θ),Px≠0sin(\theta)=P_y\\ cos(\theta)=P_x\\ tan(\theta)=\frac{P_y}{P_x}=\frac{sin(\theta)}{cos(\theta)},P_x≠0 sin(θ)=Py cos(θ)=Px tan(θ)=Px Py =cos(θ)sin(θ) ,Px =0
此外，还有三角函数的反函数：
sin−1(Py)=cos−1(Px)=tan−1(PyPx)=θsin^{-1}(P_y)=cos^{-1}(P_x)=tan^{-1}(\frac{P_y}{P_x})=\theta sin−1(Py )=cos−1(Px )=tan−1(Px Py )=θ
三角函数的应用非常广泛，与我们的生活息息相关。
2、角度制与弧度制
生活中我们衡量一个角的大小，最常用角度制，一圈就是 360360360 度。但在三角函数中，我们一般使用弧度制。
111 弧度指的是半径等于其弧长的扇形的圆心角的大小，可简写为 1 rad1\ rad1 rad 。
弧度与角度是可以相互转换的：
1 rad=180π∘π rad=180∘2π rad=360∘1\ rad=\frac{180}{\pi}^\circ\\ \pi\ rad=180^\circ\\ 2\pi\ rad=360^\circ 1 rad=π180 ∘π rad=180∘2π rad=360∘
使用弧度制可以让关于三角函数的计算更加方便哦。
3、三角函数的应用
在直角三角形中，三角函数的用处可多啦，已知一边一角（直角不算）便可直接求出另外两边。
若该直角三角形两条直角边分别长 aaa 和 bbb，对角度数分别为 α\alphaα 和 β\betaβ，斜边长 ccc，则有：
a=sin(α)c=cos(β)c=tan(α)b=btan(β)b=sin(β)c=cos(α)c=tan(β)a=atan(α)c=asin(α)=bsin(β)=acos(β)=bcos(α)a=sin(\alpha)c=cos(\beta)c=tan(\alpha)b=\frac{b}{tan(\beta)}\\ b=sin(\beta)c=cos(\alpha)c=tan(\beta)a=\frac{a}{tan(\alpha)}\\
c=\frac{a}{sin(\alpha)}=\frac{b}{sin(\beta)}=\frac{a}{cos(\beta)}=\frac{b}{cos(\alpha)} a=sin(α)c=cos(β)c=tan(α)b=tan(β)b b=sin(β)c=cos(α)c=tan(β)a=tan(α)a c=sin(α)a =sin(β)b =cos(β)a =cos(α)b
三角函数还有一些基本的性质：
sin2θ+cos2θ=1α+β=π2⇒sin(α)=cos(β)sin(−θ)=−sin(θ),cos(−θ)=cos(θ)sin^2\theta+cos^2\theta=1\\ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}\Rightarrow sin(\alpha)=cos(\beta)\\ sin(-\theta)=-sin(\theta),cos(-\theta)=cos(\theta) sin2θ+cos2θ=1α+β=2π ⇒sin(α)=cos(β)sin(−θ)=−sin(θ),cos(−θ)=cos(θ)
三角函数是周期函数：
函数 定义域 值域 周期 y=sin(x)y=sin(x)y=sin(x) RRR [−1,1][-1,1][−1,1] 2kπ(k∈N∗)2k\pi(k\in N^*)2kπ(k∈N∗) y=cos(x)y=cos(x)y=cos(x) RRR [−1,1][-1,1][−1,1] 2kπ(k∈N∗)2k\pi(k\in N^*)2kπ(k∈N∗) y=tan(x)y=tan(x)y=tan(x) {x∣x≠π2+kπ,k∈Z}\{x|x≠\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\}{x∣x=2π +kπ,k∈Z} RRR kπ(k∈N∗)k\pi(k\in
N^*)kπ(k∈N∗)
4、三角恒等变换
这里列举一些三角函数的公式，方便大家计算。
两角和与差公式
sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)sin(α−β)=sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β)cos(α−β)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)tan(α+β)=tan(α)+tan(β)1−tan(α)tan(β)tan(α−β)=tan(α)−tan(β)1+tan(α)tan(β)sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)\\
sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)\\ cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)\\ cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)\\ tan(\alpha+\beta)=\frac{tan(\alpha)+tan(\beta)}{1-tan(\alpha)tan(\beta)}\\
tan(\alpha-\beta)=\frac{tan(\alpha)-tan(\beta)}{1+tan(\alpha)tan(\beta)} sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)sin(α−β)=sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β)cos(α−β)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)tan(α+β)=1−tan(α)tan(β)tan(α)+tan(β) tan(α−β)=1+tan(α)tan(β)tan(α)−tan(β)
倍角与半角公式
sin(2α)=2 sin(α)cos(α)cos(2α)=cos2α−sin2αtan(2α)=2 tan(α)1−tan2αsin(α2)=±1−cos(α)2cos(α2)=±1+cos(α)2tan(α2)=sin(α)1+cos(α)sin(2\alpha)=2\ sin(\alpha)cos(\alpha)\\ cos(2\alpha)=cos^2\alpha-sin^2\alpha\\ tan(2\alpha)=\frac{2\ tan(\alpha)}{1-tan^2{\alpha}}\\
sin(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{2}}\\ cos(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1+cos(\alpha)}{2}}\\ tan(\frac{\alpha}{2})=\frac{sin(\alpha)}{1+cos(\alpha)} sin(2α)=2 sin(α)cos(α)cos(2α)=cos2α−sin2αtan(2α)=1−tan2α2 tan(α) sin(2α )=±21−cos(α) cos(2α )=±21+cos(α) tan(2α )=1+cos(α)sin(α)
辅助角公式
a sin(x)+b cos(x)=a2+b2 sin(x+ϕ),ab≠0其中 ϕ 满足：sin(ϕ)=ba2+b2,cos(ϕ)=aa2+b2a\ sin(x)+b\ cos(x)=\sqrt{a^2+b^2}\ sin(x+\phi),ab≠0\\ 其中\ \phi\ 满足：sin(\phi)=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},cos(\phi)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} a sin(x)+b cos(x)=a2+b2 sin(x+ϕ),ab=0其中 ϕ 满足：sin(ϕ)=a2+b2 b ,cos(ϕ)=a2+b2 a
积化和差公式
sin(α)cos(β)=sin(α+β)+sin(α−β)2cos(α)sin(β)=sin(α+β)−sin(α−β)2cos(α)cos(β)=cos(α+β)+cos(α−β)2sin(α)sin(β)=cos(α+β)−cos(α−β)2sin(\alpha)cos(\beta)=\frac{sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}{2}\\ cos(\alpha)sin(\beta)=\frac{sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)}{2}\\
cos(\alpha)cos(\beta)=\frac{cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}{2}\\ sin(\alpha)sin(\beta)=\frac{cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)}{2} sin(α)cos(β)=2sin(α+β)+sin(α−β) cos(α)sin(β)=2sin(α+β)−sin(α−β) cos(α)cos(β)=2cos(α+β)+cos(α−β) sin(α)sin(β)=2cos(α+β)−cos(α−β)
和差化积公式
sin(α)+sin(β)=2 sin(α+β2)cos(α−β2)sin(α)−sin(β)=2 cos(α+β2)sin(α−β2)cos(α)+cos(β)=2 cos(α+β2)cos(α−β2)cos(α)−cos(β)=−2 sin(α+β2)sin(α−β2)sin(\alpha)+sin(\beta)=2\ sin(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\\ sin(\alpha)-sin(\beta)=2\
cos(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\\ cos(\alpha)+cos(\beta)=2\ cos(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\\ cos(\alpha)-cos(\beta)=-2\ sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2}) sin(α)+sin(β)=2 sin(2α+β )cos(2α−β )sin(α)−sin(β)=2 cos(2α+β )sin(2α−β
)cos(α)+cos(β)=2 cos(2α+β )cos(2α−β )cos(α)−cos(β)=−2 sin(2α+β )sin(2α−β )
5、拓展练习
1、求三角形面积(入门)
