对于固定的核心数量 k，先把每种宽度的填充方案数看成一个数列，发现它总满足一个固定的线性递推关系。接着用 Bostan‑Mori 算法快速求出任意宽度的前缀和，再用区间长度做平均就得到答案；3 型核心只在偶数宽度上非零，处理时把宽度映射到一半再同理计算。