核心原理（基于定理） 根据拉格朗日四平方定理和相关推论，任意自然数 nnn 的最少平方和个数只可能是 1、2、3、41、2、3、41、2、3、4，且满足以下判定规则： 若 nnn 是完全平方数 → 答案为 111（如 nnn =161616 = 424^242）； 若 nnn 可表示为 4k×(8m+7)4^k×(8m+7)4k×(8m+7) 的形式 → 答案为 444（这是勒让德三平方定理的推论，此类数无法用 333 个平方数表示）； 若 nnn 可表示为两个完全平方数的和 → 答案为 222（如 nnn = 252525 = 323^232 + 424^242）； 其他情况 → 答案为 333。