我又来给聪聪复习初一上学期数学知识了（
任务：求∑i=nmai\sum\limits_{i=n}^{m}a^ii=n∑m ai.
即求an+an+1+an+2+…+am−1+ama^n+a^{n+1}+a^{n+2}+…+a^{m-1}+a^man+an+1+an+2+…+am−1+am.
之前聪聪想了一整个晚上都没想出来（逊
下面是解法：
令S=an+an+1+an+2+…+am−1+amS=a^n+a^{n+1}+a^{n+2}+…+a^{m-1}+a^mS=an+an+1+an+2+…+am−1+am.
则a×S = an+1+an+2+…+am−1+am+am+1a\times S\text{ }=\text{ }a^{n+1}+a^{n+2}+…+a^{m-1}+a^m+a^{m+1}a×S = an+1+an+2+…+am−1+am+am+1.
将二式减一式，得
(a−1)S=am+1−an(a-1)S=a^{m+1}-a^n(a−1)S=am+1−an.
则S=am+1−ana−1S=\dfrac{a^{m+1}-a^n}{a-1}S=a−1am+1−an .
∴∑i=nmai=am+1−ana−1∴\sum\limits_{i=n}^{m}a^i=\dfrac{a^{m+1}-a^n}{a-1}∴i=n∑m ai=a−1am+1−an .
ok复习完了，再看看这道题，将n=1,m=N,a=2n=1,m=N,a=2n=1,m=N,a=2代入，得m方减m，
∑i=1N2i=2N+1−2\sum\limits_{i=1}^{N}2^i=2^{N+1}-2i=1∑N 2i=2N+1−2.
又因为2的n次幂可以用1<<n表示，还更快，所以答案如下：
秒了！
