题目链接：「联合省选 2021 A」矩阵游戏

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「联合省选 2021 A」矩阵游戏 题解

题目描述

给定一个 $(n-1) \times (m-1)$ 的矩阵 $b$，其中

$$b_{i,j} = a_{i,j} + a_{i,j+1} + a_{i+1,j} + a_{i+1,j+1}$$

要求还原一个 $n \times m$ 的非负整数矩阵 $a$，且每个元素不超过 $10^6$。若不存在，输出 NO，否则输出 YES 并给出任意一个合法矩阵。

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算法分析

1. 构造初始解

先忽略大小限制，任意求出一组满足方程的解。令 $a_{1,1}=0$，并设第一行和第一列均为 $0$，然后利用递推式：

$$a_{i+1,j+1} = b_{i,j} - a_{i,j} - a_{i,j+1} - a_{i+1,j}$$

可以依次求出所有 $a_{i,j}$。记该初始解为 $f_{i,j}$（可能含有负数或超过 $10^6$）。

2. 调整变量保持 $b$ 不变

对于任意一组 $x_i$（$1 \le i \le n$）和 $y_j$（$1 \le j \le m$），定义

$$a_{i,j} = f_{i,j} + (-1)^{i+j} (x_i + y_j)$$

则新的 $a$ 仍然满足所有 $b$ 方程，因为 $(-1)^{i+j}$ 在 $2\times2$ 块中交替正负，求和后抵消。

因此问题转化为：寻找整数（或实数）$x_i, y_j$，使得对所有格子都有

$$0 \le f_{i,j} + (-1)^{i+j} (x_i + y_j) \le 10^6$$

3. 转化为差分约束

令 $p = (-1)^{i+j}$，则约束等价于：

• 若 $p = 1$：

  $$-f_{i,j} \le x_i + y_j \le 10^6 - f_{i,j}$$

• 若 $p = -1$：

  $$f_{i,j} - 10^6 \le x_i + y_j \le f_{i,j}$$

设变量 $v_i = x_i$（$1 \le i \le n$），$v_{n+j} = -y_j$（$1 \le j \le m$）。则 $x_i + y_j = v_i - v_{n+j}$。

于是每个约束形如

$$L \le v_i - v_{n+j} \le U$$

即

$$v_i - v_{n+j} \le U \quad \text{和} \quad v_{n+j} - v_i \le -L$$

这是典型的差分约束系统：对于不等式 $v_u - v_v \le w$，连边 $v \to u$，权值为 $w$。若图中存在负环，则无解。

4. 求解与构造

• 添加超级源点 $0$，向所有变量连权值为 $0$ 的边，以消除孤立点。
• 使用 SPFA 求单源最短路，同时检测负环。
• 若无负环，则得到一组可行解 $x_i = \mathrm{dist}[i]$，$y_j = -\mathrm{dist}[n+j]$。
• 最终矩阵为：

$$a_{i,j} = f_{i,j} + (-1)^{i+j} (x_i + y_j)$$

输出即可。

5. 复杂度

每个格子产生两条约束边，总边数 $O(nm)$，节点数 $O(n+m)$，SPFA 在随机数据下表现良好，可通过本题。

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Code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAXN = 305;
const int MAXV = 1e6;
const ll INF = 4e18;

int n, m;
ll b[MAXN][MAXN];      // b 矩阵 (n-1)*(m-1)
ll f[MAXN][MAXN];      // 初始解

struct Edge {
    int to;
    ll w;
};

vector<Edge> G[MAXN * 2]; // 节点数: n + m + 1 (0为超级源点)

void addEdge(int u, int v, ll w) {
    G[u].push_back({v, w});
}

bool spfa(int tot) {
    vector<ll> dist(tot, INF);
    vector<int> cnt(tot, 0);
    vector<bool> inq(tot, false);
    queue<int> q;

    dist[0] = 0;
    q.push(0);
    inq[0] = true;

    while (!q.empty()) {
        int u = q.front(); q.pop();
        inq[u] = false;
        for (auto &e : G[u]) {
            int v = e.to;
            ll w = e.w;
            if (dist[v] > dist[u] + w) {
                dist[v] = dist[u] + w;
                if (!inq[v]) {
                    q.push(v);
                    inq[v] = true;
                    if (++cnt[v] > tot) {
                        return false; // 存在负环
                    }
                }
            }
        }
    }
    return true;
}

void solve() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i < n; ++i)
        for (int j = 1; j < m; ++j)
            cin >> b[i][j];

    // 构造初始解 f (第一行第一列为0)
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i][1] = 0;
    for (int j = 1; j <= m; ++j) f[1][j] = 0;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        for (int j = 1; j < m; ++j) {
            f[i+1][j+1] = b[i][j] - f[i][j] - f[i][j+1] - f[i+1][j];
        }
    }

    // 清空图
    int tot = n + m + 1;
    for (int i = 0; i < tot; ++i) G[i].clear();

    // 超级源点连边
    for (int i = 1; i <= n + m; ++i) addEdge(0, i, 0);

    // 建差分约束边
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            int sign = ((i + j) & 1) ? -1 : 1; // (-1)^{i+j}
            int u = i;          // x_i
            int v = n + j;      // -y_j
            ll val = f[i][j];
            if (sign == 1) {
                // 约束: -val <= x_i + y_j <= 1e6 - val
                // 即 x_i - (-y_j) >= -val, <= 1e6 - val
                // 转化为边: v -> u 权 val, u -> v 权 1e6 - val
                ll L = -val;
                ll U = MAXV - val;
                addEdge(v, u, -L);
                addEdge(u, v, U);
            } else {
                // 约束: val - 1e6 <= x_i + y_j <= val
                ll L = val - MAXV;
                ll U = val;
                addEdge(v, u, -L);
                addEdge(u, v, U);
            }
        }
    }

    if (!spfa(tot)) {
        cout << "NO\n";
        return;
    }

    // 获得解
    vector<ll> dist(tot);
    for (int i = 0; i < tot; ++i) dist[i] = (i == 0 ? 0 : INF);
    // 实际上 spfa 已经计算出 dist，但这里重新获取
    // 重新运行一次无负环的 spfa 求 dist
    auto get_dist = [&]() -> vector<ll> {
        vector<ll> dist(tot, INF);
        vector<int> cnt(tot, 0);
        vector<bool> inq(tot, false);
        queue<int> q;
        dist[0] = 0;
        q.push(0);
        inq[0] = true;
        while (!q.empty()) {
            int u = q.front(); q.pop();
            inq[u] = false;
            for (auto &e : G[u]) {
                int v = e.to;
                ll w = e.w;
                if (dist[v] > dist[u] + w) {
                    dist[v] = dist[u] + w;
                    if (!inq[v]) {
                        q.push(v);
                        inq[v] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return dist;
    };

    vector<ll> dist2 = get_dist();

    // 计算答案矩阵
    vector<vector<ll>> ans(n+1, vector<ll>(m+1));
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            int sign = ((i + j) & 1) ? -1 : 1;
            ll x = dist2[i];
            ll y = -dist2[n + j];
            ll val = f[i][j] + sign * (x + y);
            ans[i][j] = val;
        }
    }

    cout << "YES\n";
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            cout << ans[i][j] << (j == m ? '\n' : ' ');
        }
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

注意事项：

• 所有变量使用 long long 防止中间计算溢出。
• 差分约束中的边权可能为负，$SPFA$ 需正确检测负环。
• 初始解 f 的构造无特殊限制，但需保证所有格子被计算。
• 最终输出的每个元素应在 $[0, 1e6]$ 内，若因浮点误差导致微小偏差，可四舍五入，但本题均为整数，不会有误差。

该算法时间复杂度为 $O(T * (n+m) * E)$，其中 $E = 2nm + n + m$，在 $n,m <= 300$ 时完全可行。

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这道题样例错误，应输出以下：

YES
4 0 0
0 24 1
0 0 0
YES
1 0 2
2 12 0
0 0 0
NO

两种答案逻辑上两者都正确。