模块化

龚豪老师

2026-07-28 12:08:00

发布于：湖北

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这段代码实现了一个一元二次方程求解器，能够根据判别式的不同情况，输出格式化的较大解：

全局变量声明

int T,m,a,b,c,d,k,t;

变量	含义
`T`	测试用例数量
`m`	题目中的参数（但代码中未使用）
`a,b,c`	方程 $ax^2+bx+c=0$ 的系数
`d`	判别式 $\Delta = b^2-4ac$ （化简后根号内的数）
`k`	$\sqrt{\Delta}$ 化简后的系数，即 $\sqrt{\Delta} = k\sqrt{d}$
`t`	临时变量，用于存储最大公约数

`gcd` 函数：求最大公约数

int gcd(int a,int b){
    return b ? gcd(b, a%b) : a;
}

三元运算符：b ? A : B 表示"如果 b 非零则 A，否则 B"
递归实现：欧几里得算法，求 a 和 b 的最大公约数

等价写法：

if (b != 0) return gcd(b, a % b);
else return a;

`Main()` 函数：核心逻辑

步骤 1：读取系数并标准化

cin >> a >> b >> c;
if (a < 0) a = -a, b = -b, c = -c;  // 细节1：分母非负

为什么这样做？

方程 $ax^2+bx+c=0$ 两边同乘 -1，解不变
保证 a > 0，后续计算 2a 作为分母时为正，简化符号处理

步骤 2：计算判别式并判断无解

d = b*b - 4*a*c, k = 1;  // d是delta
if (d < 0) {
    cout << "NO\n";
    return;
}  // 无解

$\Delta < 0$ 时无实数解，直接输出 NO

步骤 3：化简 $\sqrt{\Delta}$

for (int i = 2; i*i <= d; i++)
    while (d % (i*i) == 0)
        k *= i, d /= (i*i);  // k*sqrt(d)

核心技巧：提取所有平方因子

示例	过程	结果
$\sqrt{12}$	$12 = 2^2 \times 3$ → $k=2, d=3$	$2\sqrt{3}$
$\sqrt{18}$	$18 = 3^2 \times 2$ → $k=3, d=2$	$3\sqrt{2}$
$\sqrt{7}$	无平方因子 → $k=1, d=7$	$\sqrt{7}$

步骤 4：有理数解（ $\Delta$ 是完全平方数）

if (d == 0 || d == 1) {  // 有理数
    t = abs(gcd(2*a, -b + k*d));  // 细节2：取绝对值
    cout << (-b + k*d) / t;
    if (2*a / t != 1)  // 细节3：分母非1
        cout << '/' << 2*a / t;
    cout << '\n';
    return;
}

数学原理：

$d=0$ ： $\sqrt{\Delta}=0$ ，解为 $x = \frac{-b}{2a}$
$d=1$ ： $\sqrt{\Delta}=k$ （整数），解为 $x = \frac{-b+k}{2a}$

输出格式：

分子分母约分后，如果分母为 1 则只输出分子
否则输出 分子/分母

步骤 5：无理数解（ $\Delta$ 不是完全平方数）

// -b/2a + k*sqrt(d)/2a
t = abs(gcd(-b, 2*a));  // 细节2
if (-b/t == 0)  // 细节4：不能有0+xxx
    goto g;
cout << -b/t;
if (2*a/t != 1)  // 细节3
    cout << '/' << 2*a/t;
cout << '+';

g:
t = abs(gcd(k, 2*a));  // 细节2
if (k/t != 1)  // 细节5：乘数不为1
    cout << k/t << '*';
cout << "sqrt(" << d << ')';
if (2*a/t != 1)  // 细节3
    cout << '/' << 2*a/t;
cout << '\n';

数学原理：

$x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \underbrace{\frac{-b}{2a}}_{q_1} + \underbrace{\frac{k}{2a}}_{q_2}\sqrt{d}$

代码逻辑：

输出 $q_1$ 部分（如果不为 0）
- 约分：gcd(-b, 2a)
- 如果分子为 0，用 goto g 跳过，避免输出 0+...
输出 + 连接符
输出 $q_2\sqrt{d}$ 部分
- 约分：gcd(k, 2a)
- 如果系数为 1，省略 1*
- 如果分母为 1，省略 /1

5 个"细节"详解

细节	代码位置	作用
细节1	`if(a<0) a=-a,b=-b,c=-c`	保证分母 `2a > 0`，简化符号处理
细节2	`abs(gcd(...))`	`gcd` 可能返回负数，取绝对值保证约分正确
细节3	`if(2*a/t!=1)`	分母为 1 时不输出 `/1`，符合数学书写习惯
细节4	`if(-b/t==0) goto g`	避免输出 `0+sqrt(...)`，直接输出 `sqrt(...)`
细节5	`if(k/t!=1)`	系数为 1 时不输出 `1`，如 `sqrt(2)` 而非 `1sqrt(2)`

`main()` 函数：输入输出框架

int main(){
    freopen("uqe.in","r",stdin);      // 重定向标准输入
    freopen("uqe.out","w",stdout);    // 重定向标准输出
    
    for (cin >> T >> m; T; --T)       // 循环 T 次
        Main();                       // 处理每个用例
    
    fclose(stdin);                    // 关闭文件
    fclose(stdout);
    return 0;
}

文件重定向：

提交 OJ 时，程序会自动从 uqe.in 读输入，向 uqe.out 写输出
本地调试时可注释掉这两行，用控制台输入输出

样例执行演示

样例： $x^2 - 3x + 2 = 0$ （a=1, b=-3, c=2）

d = (-3)² - 4×1×2 = 9 - 8 = 1
d == 1 → 有理数解
分子：-b + k*d = 3 + 1×1 = 4
分母：2a = 2
约分：gcd(4, 2) = 2 → 4/2 = 2, 2/2 = 1
输出：2 ✓

样例： $x^2 - 2 = 0$ （a=1, b=0, c=-2）

d = 0² - 4×1×(-2) = 8
化简：8 = 2² × 2 → k=2, d=2
d != 0,1 → 无理数解
$q_1 = \frac{-0}{2} = 0$ （跳过输出）
$q_2 = \frac{2}{2} = 1$ （系数为 1，省略）
输出：sqrt(2) ✓

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
int T,m,a,b,c,d,k,t;
int gcd(int a,int b){//最大公因数
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
void Main(){
	cin>>a>>b>>c;
	if(a<0)
		a=-a,b=-b,c=-c;//细节1：分母非负
	d=b*b-4*a*c,k=1;//d是delta
	if(d<0){
		cout<<"NO\n";
		return;
	}//无解
	for(int i=2;i*i<=d;i++)
		while(d%(i*i)==0)
			k*=i,d/=(i*i);//k*sqrt(d)
	if(d==0||d==1){//有理数
		t=abs(gcd(2*a,-b+k*d));//细节2：取绝对值
		cout<<(-b+k*d)/t;
		if(2*a/t!=1)//细节3：分母非1
			cout<<'/'<<2*a/t;
		cout<<'\n';
		return;
	}
	//-b/2a+k*sqrt(d)/2a
	t=abs(gcd(-b,2*a));//细节2
	if(-b/t==0)//细节4：不能有0+xxx
		goto g;
	cout<<-b/t;
	if(2*a/t!=1)//细节3
		cout<<'/'<<2*a/t;
	cout<<'+';
	g:
	t=abs(gcd(k,2*a));//细节2
	if(k/t!=1)//细节5：乘数不为1
		cout<<k/t<<'*';
	cout<<"sqrt("<<d<<')';
	if(2*a/t!=1)//细节3
		cout<<'/'<<2*a/t;
	cout<<'\n';
	return;
}
int main(){
	freopen("uqe.in","r",stdin);
	freopen("uqe.out","w",stdout);
	for(cin>>T>>m;T;--T)
		Main();//函数
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}