大家好，我是энтджей，今天是我2026年第二十三次正式发题解！

2026年发布的题解！

能不能点个赞

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必备知识点:

• 完全平方公式
  
  

首先简化题意：

• 对于给定的 $n$, $d$, $e$，计算出 $p$, $q$，要求满足 $pq = n、ed = (p - 1)(q- 1) + 1$

然后就是写代码:

• 暴力枚举 $p$ 有 60 的高分（真的不低了）
• 暴力枚举有个小技巧，∵$p≤q$ ∴$p$仅仅需要枚举到 $\sqrt{n}$
• 那正解怎么求呢，需要利用一些数学知识：

$$\begin{aligned} & \text{已知 } pq = n,\quad ed = (p-1)(q-1)+1 \\[6pt] & \text{我们根据 } ed = (p-1)(q-1)+1 \text{ 来推导一些东西} \\[6pt] & \because\ ed = (p-1)(q-1)+1 \\ & \therefore\ ed = p(q-1) - 1 \times (q-1) + 1 \\ & \phantom{\therefore\ } ed = pq - p - q + 1 + 1 \\ & \phantom{\therefore\ } ed = pq - p - q + 2 \\[4pt] & \because\ pq = n \\ & \therefore\ ed = n - p - q + 2 \\ & \phantom{\therefore\ } ed - n - 2 = (-p) - q \\ & \phantom{\therefore\ } (ed - n - 2) \times (-1) = \big[(-p) - q\big] \times (-1) \\ & \phantom{\therefore\ } (-ed) - (-n) - (-2) = \big[-(-p)\big] - (-q) \\ & \phantom{\therefore\ } (-ed) + n + 2 = p + q \\ & \phantom{\therefore\ } n + 2 - ed = p + q \\[6pt] & \text{设 } m = n + 2 - ed \\ & \text{则 } m = p + q \\[6pt] & m^2 = (p+q)^2 \\ & m^2 = p^2 + 2pq + q^2 \\ & m^2 - 4n = p^2 + 2pq + q^2 - 4pq \\ & m^2 - 4n = p^2 + q^2 + 2pq - 4pq \\ & m^2 - 4n = p^2 + q^2 - 2pq \\ & m^2 - 4n = (p-q)^2 \\ & \sqrt{m^2 - 4n} = \sqrt{(p-q)^2} \\ & \sqrt{m^2 - 4n} = p - q \\[6pt] & \text{设 } t = \sqrt{m^2 - 4n} \\ & \text{则 } t = p - q \\[6pt] & \text{整理后得出：} \\ & \begin{cases} m = p + q \\ t = p - q \end{cases} \\[6pt] & \text{相加得：} \\ & m + t = (p+q) + (p-q) \\ & m + t = p + q + p - q \\ & m + t = 2p \\ & 2p = m + t \\ & p = \frac{m+t}{2} \\[6pt] & \text{相减得：} \\ & m - t = (p+q) - (p-q) \\ & m - t = p + q - p + q \\ & m - t = 2q \\ & 2q = m - t \\ & q = \frac{m-t}{2} \end{aligned}$$

蒟蒻作者太拉了，建议你们多看看理解一下捏

• 综上所述，可以发现 $m = n + 2 - ed$， $t = \sqrt{m^2 - 4n}$， $p = \frac{m+t}{2}$, $q = \frac{m-t}{2}$
• 显然，当 $t$ 不是整数时，当$m + t$ 或 $m - t$ 除以 $2$ 不是整数 （即不是偶数）时是没有解的（题目说了 $p, q$ 是整数）
• 所以非常好判断

最后输出：

• 输出结果，记得取 $min$ 和 $max$ 以防出错

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long  
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
const int INF = 1e18;
void solve () {
    int n, d, e;
    cin >> n >> d >> e;
    int m = ______;
    int t = ______;
    if (没有解的时候是______的时候) {
        cout << "NO" << endl;
    } else {
        int p = ______, q = ______;
        cout << min(p, q) << " " << max(p, q) << endl;
    }
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
	// freopen(".in", "r", stdin);
	// freopen(".out", "w", stdout);
	
	int _;
    cin >> _;
    while (_--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

我感觉我都不需要贴代码你们应该能写

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🎉完结撒花🎉