O(1)的同余数论优化，较简单

首先，第一步列出方程式，公母小分别为 $a,b,c$ 。可得以下式子。
$\begin{cases}a+b+c=n\\ 5a+3b+\frac{c}{3}=n\end{cases}$

由第一条式子，可以得出 $c=n-a-b$

代入第二条式子，得到

$5a+3b+\frac{n-a-b}{3}=n\\ 15a+9b+(n-a-b)=3n\\ 14a+8b=2n\\ 7a+4b=n$

然后，由上式得出， $b=\frac{n-7a}{4}$ ，由于 $b$ 是整数，所以得出 $n-7a \equiv 0 \pmod{4}$

这等价于 $7a \equiv n \pmod{4}$

接着， $7 \equiv 3 \pmod{4}$ ，因此上式等同于 $3a \equiv n \pmod{4}$

小知识： 对于非零整数 $a,m$ ，如果存在 $b$ 使得 $ab\equiv 1\pmod m$，就称 $b$ 是 $a$ 在模 $m$ 意义下的逆元。摘自Oiwiki中模逆元一章

不难发现，$3$ 在 $\mod 4$ 下的逆元是 $3$ ($3\times 3 = 9 , 9 \equiv 1 \pmod{4}$)

故 $a \equiv 3n \pmod{4}$

这就是优化核心！$a$ 对 $4$ 取模的值是固定的！

最后，设 $a_0 = 3n \mod 4$ ，那么所有满足条件的 $a$ 可以表示为 $a_k = a_0 + 4k$ ，其中 $k \in \mathbf{R}$

不难看出这是个等差数列，答案即为这个等差数列的项数，这个数列的项数是 $\left\lfloor\dfrac{\frac{n}{7}-a_0}{4}\right\rfloor +1$

附上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int n;
	cin>>n;
	int cnt=0;
	const int r=n%4;
	const int a0=((r<<1)+r)%4;//r<<1+r等同于3*r，不过更快速
	const int maxa=n/7;
	if(a0<=maxa){
		cnt=((maxa-a0)>>2)+1;//>>2等同于/4，并自动向下取整
	}
	cout<<cnt<<"\n";
	return 0;
}