题解（快来看）

一、问题分析
本题是一个典型的 0-1 背包问题。给定 n 件物品，每件物品只有 1 件，具有体积 v[i] 和价值 c[i]。背包的固定容量为 10，要求在不超过背包容量的前提下，选择若干物品使得总价值最大

约束条件：0 <= n <= 100，体积和价值均为整数。题目明确要求使用二维数组实现动态规划

二、算法思路
采用动态规划（Dynamic Programming）求解

状态定义
定义二维数组 dp[i][j]，其中：

i 表示考虑前 i 件物品（从第 1 件到第 i 件）；

j 表示当前背包的容量（取值范围为 0 到 10）；

dp[i][j] 的值表示在前 i 件物品中选择，且背包容量为 j 时，能够获得的最大总价值

状态转移方程
对于第 i 件物品（体积 v[i]，价值 c[i]），存在两种决策：

不选第 i 件物品：此时最大价值等于前 i-1 件物品在容量 j 下的最优解，即 dp[i-1][j]

选第 i 件物品：前提是当前容量 j 必须大于等于物品体积 v[i]。选取后，需要从容量 j - v[i] 的状态转移过来，并加上该物品的价值，即 dp[i-1][j - v[i]] + c[i]

初始化
dp[0][j] = 0（0 <= j <= 10）：表示没有物品可选时，任何容量下的最大价值均为 0

dp[i][0] = 0（1 <= i <= n）：表示容量为 0 时，无法放入任何物品，最大价值为 0

由于 C++ 全局数组默认初始化为 0，因此无需显式初始化

遍历顺序
外层循环遍历物品编号 i，从 1 到 n；

内层循环遍历容量 j，从 0 到 10（顺序遍历即可，因为二维数组中的 dp[i] 只依赖 dp[i-1] 行的数据，不会产生覆盖问题）

最终答案
输出 dp[n][10]，即考虑全部 n 件物品、背包容量为 10 时的最大价值

三、代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm> // 使用 std::max
using namespace std;
const int CAPACITY = 10;     // 背包固定容量
// 定义全局数组，自动初始化为 0
// dp[i][j] 表示前 i 件物品，容量为 j 时的最大价值
int dp[105][15];             // n <= 100，故行数开 105；容量 <= 10，列数开 15
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int v[105], c[105];      // 体积数组和价值数组，从下标 1 开始存储
    // 输入体积
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v[i];
    }
    // 输入价值
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> c[i];
    }
    // 动态规划主过程
    for (int i = 1; i <= n; i++) {          // i 表示当前考虑的物品编号
        for (int j = 0; j <= CAPACITY; j++) { // j 表示当前可用容量
            // 情况1：不取第 i 件物品，直接继承上一行的结果
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            // 情况2：如果当前容量足够放下第 i 件物品，尝试选取
            if (j >= v[i]) {
                // 取“不取”和“取”这两种情况中的较大值
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i]] + c[i]);
            }
        }
    }
    // 输出考虑所有物品、容量为 10 时的最大价值
    cout << dp[n][CAPACITY] << endl;
    return 0;
}

四、总结
这道题其实就是一个 “选还是不选” 的决策问题
我们可以这样想：

行表示“已经看了前几件商品”
列表示“背包还剩多大容量”
格子里填的是“当前情况下能拿到的最大价值”

每加入一件新商品时，我们只需要比较两种情况：

不拿：价值和之前一样
拿（前提是装得下）：腾出空间，加上这件商品的价值
两者取更优的那个

最后得到的数字，就是答案

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