说到求sinθ、cosθ，大家第一个想到的肯定是泰勒级数：说到求\sin{\theta}、\cos{\theta}，大家第一个想到的肯定是泰勒级数：说到求sinθ、cosθ，大家第一个想到的肯定是泰勒级数：
sinθ=θ−θ33!+θ55!−⋯+(−1)kθ2k+1(2k+1)!(1)\sin{\theta}=\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots+(-1)^k\frac{\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}\tag{1} sinθ=θ−3!θ3 +5!θ5 −⋯+(−1)k(2k+1)!θ2k+1 (1)
cosθ=1−θ22!+θ44!−⋯+(−1)kθ2k(2k)!(2)\cos{\theta}=1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots+(-1)^k\frac{\theta^{2k}}{(2k)!}\tag{2} cosθ=1−2!θ2 +4!θ4 −⋯+(−1)k(2k)!θ2k (2)
但是泰勒级数f(x)=f(a)+f′(a)x+12f′′(a)x2+16f′′′(a)x3+⋯+1k!f(k)xk+⋯+Rn(x)f(x)=f(a)+f'(a)x+\frac{1}{2}f''(a)x^2+\frac{1}{6}f'''(a)x^3+\cdots+\frac{1}{k!}f^{(k)}x^k+\cdots+R_n(x)f(x)=f(a)+f′(a)x+21 f′′(a)x2+61 f′′′(a)x3+⋯+k!1 f(k)xk+⋯+Rn (x)是一个无穷级数，且如果只用1k!f(k)xk\frac{1}{k!}f^{(k)}x^kk!1
f(k)xk的话还有误差Rn(x)R_n(x)Rn (x)，所以泰勒级数还是尽量不要用
接下来我就会给出sinx\sin{x}sinx和cosx\cos{x}cosx的精确值，并给出推导过程
f(x)=f(a)+f′(a)x+12!f′′(a)x2+⋯f(x)=exf′(x)=f(x)a=0f(x)=1+x+x22!+x33!+⋯f(iθ)=(1−θ22!+⋯ )+i(θ−θ33!+⋯ )但是根据(1)和(2)：f(iθ)=cosθ+isinθ因此eiθ=cosθ+isinθ那么e−iθ=cosθ−isinθ两式相减和相加，可得：sinx=eix−e−ix2icosx=eix+e−ix2f(x)=f(a)+f'(a)x+\frac{1}{2!}f''(a)x^2+\cdots\\ f(x)=e^x\\ f'(x)=f(x)\\ a=0\\
f(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\\ f(i\theta)=(1-\frac{\theta^2}{2!}+\cdots)+i(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\cdots)\\ 但是根据(1)和(2)：\\ f(i\theta)=\cos{\theta}+i\sin{\theta}\\ 因此e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}\\ 那么e^{-i\theta}=\cos{\theta}-i\sin{\theta}\\ 两式相减和相加，可得：\\
\sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\ \cos{x}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} f(x)=f(a)+f′(a)x+2!1 f′′(a)x2+⋯f(x)=exf′(x)=f(x)a=0f(x)=1+x+2!x2 +3!x3 +⋯f(iθ)=(1−2!θ2 +⋯)+i(θ−3!θ3 +⋯)但是根据(1)和(2)：f(iθ)=cosθ+isinθ因此eiθ=cosθ+isinθ那么e−iθ=cosθ−isinθ两式相减和相加，可得：sinx=2ieix−e−ix cosx=2eix+e−ix
