加法原理、乘法原理和排列组合
一句话理解
> 加法原理：做一件事有几类不同的方法，总方法数 = 各类方法数相加。
> 乘法原理：做一件事要分几个步骤，总方法数 = 各步方法数相乘。
就像从家到学校：
* 加法原理：可以走路、骑车、坐公交，选择其中一种方式 → 3种方法相加
* 乘法原理：先走到地铁站（2条路），再坐地铁（3条线），要依次完成 → 2×3=6种
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一、加法原理
什么是加法原理？
如果完成一件事有 n 类 不同方式：
* 第1类有 m₁ 种方法
* 第2类有 m₂ 种方法
* ...
* 第 n 类有 mₙ 种方法
并且每一类方法都能独立完成这件事，那么总方法数 = m₁ + m₂ + ... + mₙ
关键判断："要么...要么..." 的关系
各类方法之间是互斥的，选了这一类就不能选另一类。
经典例子
例子1：从甲地到乙地，可以坐飞机（3个航班）、坐火车（4个班次）、坐汽车（2个班次）。一共有多少种不同的走法？
例子2：一个班级有15个男生和20个女生，要选1个人当班长，有多少种选法？
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二、乘法原理
什么是乘法原理？
如果完成一件事需要分成 n 个步骤：
* 第1步有 m₁ 种方法
* 第2步有 m₂ 种方法
* ...
* 第 n 步有 mₙ 种方法
并且每步都必须要做，那么总方法数 = m₁ × m₂ × ... × mₙ
关键判断："先...再..." 的关系
各步骤之间是相互依存的，必须依次完成所有步骤。
经典例子
例子1：从甲地到乙地，要先坐飞机到丙地（3个航班），再坐火车到乙地（4个班次）。一共有多少种不同的走法？
例子2：一套衣服由1件上衣和1条裤子组成。有4件不同的上衣和3条不同的裤子，可以搭配多少套不同的衣服？
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三、加法原理 VS 乘法原理
对比项 加法原理 乘法原理 关系词 "要么...要么..."（分类） "先...再..."（分步） 各类/各步关系 互斥，选一类就行 依存，全部要做 计算 相加 相乘 判断方法 看是否独立完成 看是否缺一不可
记忆口诀：
> 加法分类互排斥，乘法分步全要做
> 是加是乘看关系，一类就加多步乘
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四、排列（有顺序）
什么是排列？
从 n 个不同元素中，取出 m 个（m ≤ n），按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个元素中取 m 个元素的排列。
关键：顺序不同，结果不同！
公式：
P(n, m) = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-m+1)
> 也可以写成 A(n, m)，读作"排列数"
当 m = n 时，叫全排列：
P(n, n) = n × (n-1) × ... × 2 × 1 = n!
经典例子
例子1：有3个不同的数字 1、2、3，可以组成多少个不同的三位数？
例子2：从5个人中选3个人，分别担任班长、副班长、学习委员，有多少种选法？
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五、组合（无顺序）
什么是组合？
从 n 个不同元素中，取出 m 个（m ≤ n），不考虑顺序地组成一组，叫做从 n 个元素中取 m 个元素的组合。
关键：顺序不同，结果相同！
公式：
C(n, m) = P(n, m) / P(m, m) = n! / [m! × (n-m)!]
> 读作"组合数"，也写作C (n,m) 或 Cₙᵐ
经典例子
例子1：从5个人中选3个人参加比赛，有多少种选法？
例子2：从7个不同的球中选4个，有多少种选法？
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六、排列 VS 组合
对比项 排列 组合 顺序是否重要 重要！ 不重要！ 结果举例 班长、副班长（不同职务） 选3个人参加比赛（无职务） 公式 P(n,m) = n!/(n-m)! C (n,m) = n!/[m!(n-m)!] 关系 P(n,m) = C (n,m) × m! C (n,m) = P(n,m) / m!
记忆口诀：
> 排列有序组合无，顺序重要用排列
> 职务排队是排列，选人组队是组合
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七、综合例子
例子1：分类+分步综合
题目：有4本不同的语文书、3本不同的数学书、2本不同的英语书。
（1）从中任选1本，有多少种选法？
（2）各选1本语文书、数学书、英语书，有多少种选法？
例子2：排列组合综合
题目：从6名男生和4名女生中选5人参加比赛。
（1）选法有多少种？
（2）选3男2女，有多少种选法？
（3）选出的5人中选1人当队长，有多少种选法？
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八、特殊情况
1. 0! = 1（规定）
2. C(N,0) = C(N,N) = 1
3. C (N,M) = C(N, N-M)
例如：C(10,3) = C(10,7)
4. 排列公式的另一种写法
P(n,m) = n! / (n-m)!
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九、常见题型判断
题目特征 用什么 "要么A要么B" 加法原理 "先A后B" 乘法原理 "排成一排"、"排队"、"职务" 排列 "选人组队"、"选几个" 组合
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十、记忆口诀
> 加法分类互排斥，乘法分步全要做
> 排列有序组合无，顺序关键看题意
> 职务排队用排列，选人组队用组合
> 分类分步综合用，先分再乘要记牢
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