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在之前我们聊完了极限，上回我们简单讲了讲导数，那么这次我们继续导数之旅，讲一下对数函数、指数函数和幂函数的导数。
本文围绕以下内容展开：
· 隐函数求导
· 经济学和 自然对数底数 eee 的出现
· 对数函数的导数
· 指数函数的导数
· 取对数求导法
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5. 隐函数求导
我们在这个系列刚开始的时候说过，“狭义”的函数就是 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 的形式，一个 xxx 对应一个 yyy，比如 y=x2+2x+1y=x^2+2x+1y=x2+2x+1 就是一个函数。
但是，据说在《柯朗微积分》中，作者把 x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1 也叫做函数，我们暂且称之为“广义”的函数。这种“广义”的函数如果只涉及 xxx 和 yyy，有时候也可以写成上面“狭义”的函数的形式，比如它可以写作 y=±1−x2y=±\sqrt{1-x^2}y=±1−x2 ，但是这里一个 xxx 对应了两个 yyy，很明显不符合“狭义”的函数的定义。
那么，对于这种“广义”的函数，如何求解函数上一点 (x,y)(x,y)(x,y) 处的切线斜率呢？这就是隐函数求导。
就以 x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1 为例，求 (22,22)(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2})(22 ,22 ) 处的切线斜率（说白了就是求导+代入），你所要做的就是两边同时关于 xxx 求导：
ΔΔx(x2+y2)=ΔΔx(1)\dfrac{\Delta}{\Delta x}(x^2+y^2)=\dfrac{\Delta}{\Delta x}(1) ΔxΔ (x2+y2)=ΔxΔ (1)
化简得到：
ΔΔxx2+ΔΔxy2=0\dfrac{\Delta}{\Delta x}x^2+\dfrac{\Delta}{\Delta x}y^2=0 ΔxΔ x2+ΔxΔ y2=0
左边第一项是指数为正整数的幂函数，可以直接运用上次讨论的结果得到 2x2x2x。那么第二项呢？
我们所需要做的只是链求导：
ΔΔxy2=Δ(y2)ΔyΔyΔx\dfrac{\Delta}{\Delta x}y^2=\dfrac{\Delta(y^2)}{\Delta y}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} ΔxΔ y2=ΔyΔ(y2) ΔxΔy
化简得到：
2x+2yΔyΔx=02x+2y\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=0 2x+2yΔxΔy =0
此时你可以把 xxx 和 yyy 看成是参数，未知数（元）是 ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy ，解一元一次方程。你会得到结果为：
ΔyΔx=−xy\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-\dfrac{x}{y} ΔxΔy =−yx
我们要求的是点 (22,22)(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2})(22 ,22 ) 处的斜率，即代入：
{x=22y=22\begin{cases} x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\ y=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}⎩⎨⎧ x=22 y=22
得到：
ΔyΔx=−1\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-1 ΔxΔy =−1
所以，该点处的切线斜率为 −1-1−1。
我们在中学阶段可能会遇到给定一个圆（甚至是椭圆）求过上面一点的切线斜率。在他人还在死算时，“邪修”党可以利用求导对这道题目进行降维打击。
例如，给定椭圆 x2a+y2b=r2\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}=r^2ax2 +by2 =r2，求过在椭圆上一点 (x0,y0)(x_0,y_0)(x0 ,y0 ) 的切线斜率。可以进行隐函数求导得到答案：
ΔΔx(x2a+y2b)=ΔΔx(r2)\dfrac{\Delta}{\Delta x}(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b})=\dfrac{\Delta}{\Delta x}(r^2) ΔxΔ (ax2 +by2 )=ΔxΔ (r2)
接着利用链求导得到：
2xa+2ybΔyΔx=0\dfrac{2x}{a}+\dfrac{2y}{b}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=0 a2x +b2y ΔxΔy =0
移项，得到：
ΔyΔx=−2xa2yb=−xbya\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=-\cfrac{\cfrac{2x}{a}}{\cfrac{2y}{b}}=-\cfrac{xb}{ya} ΔxΔy =−b2y a2x =−yaxb
因此，代入点的坐标，就得到了斜率：
k=−x0by0ak=-\cfrac{x_0b}{y_0a} k=−y0 ax0 b
正修：这就得到答案了？
邪修：这不很简单吗？隐函数求导呗！
6. EEE 的定义
6.1. 经济问题：复利的计算
很久以前，一个名叫伯努利的数学家（你猜是雅各布还是约翰）回答了一个有关复利的问题。抛开伯努利是哪位不谈，我们就来看看这个问题：
如果有一家银行，你存进去 111 元，年利率是 rrr，那么你存一年之后的本金和利息一共多少？相信你很快就能够回答出是 1+r1+r1+r 元。
那么，如果另一家银行半年的利润率是 r2\dfrac{r}{2}2r ，你的 111 元可以存半年之后再拿出本利继续存，那么你的本利共多少？也不难，答案是 (1+r2)2(1+\dfrac{r}{2})^2(1+2r )2 元。
继续，第三家银行一个季度的利润率是 r4\dfrac{r}{4}4r ，存满一个季度后拿出本利再存，这样你的 111 元在一年后的本利和就是 (1+r4)4(1+\dfrac{r}{4})^4(1+4r )4 元
我们考虑一家月利率为 r12\dfrac{r}{12}12r 的银行，你存 111 元每满一个月就可以进行取出本利和转存，这样一年后你就有 (1+r12)12(1+\dfrac{r}{12})^{12}(1+12r )12 元。
综上，你会发现这个结果可以写成 (1+rh)h(1+\dfrac{r}{h})^h(1+hr )h，比如我日利率为 rrr（假设一年有 365365365 天）那么结果就是 (1+r365)365(1+\dfrac{r}{365})^{365}(1+365r )365，其中 h=365h=365h=365。
此时，你会发现这样的复利有个特点，你转存的次数越多，得到的利润就越多（前提是 rrr 不变的情况下，否则没有可比性）。我们假设此时 r=1r=1r=1，那么当所谓的 hhh 越来越大时，这个结果会不会也越来越大变成 ∞\infty∞ 呢？不会。相反，它会收敛到一个固定的值，叫做 自然对数底数 eee（也叫 自然常数）。
6.2. EEE 的定义
根据上面我们对于复利的探究，我们知道，eee 就是这样一个式子：
e=limh→∞(1+1h)he=\displaystyle\lim_{h\to\infty}(1+\dfrac{1}{h})^h e=h→∞lim (1+h1 )h
如果我们让 x=1hx=\dfrac{1}{h}x=h1 ，那么就有了另一种写法：
e=limh→0+(1+h)1he=\displaystyle\lim_{h\to0^+}(1+h)^\frac{1}{h} e=h→0+lim (1+h)h1
危险的是，我们现在没有足够的办法说明这个极限存在。当然，事实是这个极限的确存在，甚至于你可以写成：
e=limh→0(1+h)1he=\displaystyle\lim_{h\to0}(1+h)^\frac{1}{h} e=h→0lim (1+h)h1
更一般的说，同样按照上面对复利的探究，我们有：
er=limh→0+(1+rh)1he^r=\displaystyle\lim_{h\to0^+}(1+rh)^\frac{1}{h} er=h→0+lim (1+rh)h1
7. 对数函数的导数
我们早在这个系列开始的时候就介绍过什么是对数函数，但是从来没有看过它的导数，那么现在我们就来看看。
我们以 logax\log_a{x}loga x 为例，套用导数的定义，就有：
loga′x=limh→0loga(x+h)−loga(x)h\displaystyle\,\,\,\,\,\,\,\log_a'{x}\\ =\lim_{h\to0}\dfrac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h}loga′ x=h→0lim hloga (x+h)−loga (x)
利用对数减法的性质，我们可以化简：
loga′x=limh→01hlogax+hx=limh→01hloga(1+hx)\displaystyle\,\,\,\,\,\,\,\log_a'{x}\\ =\lim_{h\to0}\dfrac{1}{h}\log_a{\dfrac{x+h}{x}}\\ =\lim_{h\to0}\dfrac{1}{h}\log_a(1+\dfrac{h}{x})loga′ x=h→0lim h1 loga xx+h =h→0lim h1 loga (1+xh )
因为 loga(bc)=cloga(b)\log_a(b^c)=c\log_a(b)loga (bc)=cloga (b)，所以在这里逆用这个性质就得到：
loga′x=limh→0loga(1+hx)1h\displaystyle\,\,\,\,\,\,\,\log_a'{x}\\ =\lim_{h\to0}\log_a(1+\dfrac{h}{x})^{\frac{1}{h}}loga′ x=h→0lim loga (1+xh )h1
你会发现，这里出现了一个似曾相识的东西：这不就是 ere^rer 的定义吗？因此，代入 r=1br=\dfrac{1}{b}r=b1 ，就有：
loga′x=loga(e1x)=1xloga(e)\displaystyle\,\,\,\,\,\,\,\log_a'{x}\\ =\log_a(e^\frac{1}{x})\\ =\dfrac{1}{x}\log_a(e)loga′ x=loga (ex1 )=x1 loga (e)
进一步化简，我们可以利用换底法则：
loga′x=1xloge(e)loge(a)=1xloge(a)\displaystyle\,\,\,\,\,\,\,\log_a'{x}\\ =\cfrac{1}{x}\cfrac{\log_e(e)}{\log_e(a)}\\ =\cfrac{1}{x\log_e(a)}loga′ x=x1 loge (a)loge (e) =xloge (a)1
你会发现，当我们对数函数的底数 a=ea=ea=e 的时候，它的导数就是 1x\dfrac{1}{x}x1 ，看上去貌似很自然。因此，数学家们规定以 eee 为底的对数函数叫做 自然对数，写作 ln()\ln()ln()，即 log naturallog\,\,naturallognatural 的含义，因此，也可以这样写：
loga′x=1xlna\log_a'{x}=\dfrac{1}{x\ln{a}} loga′ x=xlna1
特别的，还有：
ln′x=1x\ln'{x}=\dfrac{1}{x} ln′x=x1
8. 指数函数的导数
8.1. 指数函数求导
我们以指数函数 y=axy=a^xy=ax 为例，探究其导数就是探究 ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy 的结果。
有一点我们一直在强调：Δy\Delta yΔy 和 Δx\Delta xΔx 可以参与运算！因此，我们也可以计算出 ΔxΔy\dfrac{\Delta x}{\Delta y}ΔyΔx 的结果，然后取倒数。
因为 y=axy=a^xy=ax，所以根据对数函数的定义有 x=logayx=\log_a{y}x=loga y。我们根据上面的探究结果，可以得到：
ΔxΔy=1ylna\dfrac{\Delta x}{\Delta y}=\dfrac{1}{y\ln{a}} ΔyΔx =ylna1
所以，取倒数，得到：
ΔyΔx=ylna\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=y\ln{a} ΔxΔy =ylna
代入 y=axy=a^xy=ax，就有：
ΔyΔx=axlna\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=a^x\ln{a} ΔxΔy =axlna
8.2. EEE 的第二定义
特别的，当 a=ea=ea=e 的时候，你会发现 ΔyΔx=ex\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=e^xΔxΔy =ex。好家伙！这求导了……又好像没求导一样。
因此，数学家们根据这个性质，给出了 eee 的第二定义：
如果非零函数 f(x)f(x)f(x) 满足 f′(x)=f(x)f'(x)=f(x)f′(x)=f(x)，那么规定 f(x)=exf(x)=e^xf(x)=ex。
但是，这个定义用的时候要注意一点：所有满足条件 f′(x)=f(x)f'(x)=f(x)f′(x)=f(x) 的 f(x)f(x)f(x) 应该写作 f(x)=Aex\color{red}f(x)=Ae^xf(x)=Aex，其中 AAA 是常数。你可以通过简单的求导证明这一点，因为函数的常数倍求导是导函数的常数倍。
这是最简单的微分方程，我们以后再讨论它的解法。
8.3. 极限的求解
有了指数函数的导数以后，我们可以联系一下，来求证一个极限：
limh→0eh−1h=1\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{e^h-1}{h}=1 h→0lim heh−1 =1
这个极限很简单，你应该自己先试试。如果你知道洛必达法则你可以洛出来这个结果，因为这里当 h→0h\to0h→0 的时候分子分母都趋向于 000，但是这完全没有必要。
我们都知道，无论你底数是什么非零数，只要你的指数为 000，那么你的结果必然为 111，因此，我们可以把这里的 111 还原成 e0e^0e0，这样子，原极限就变成了：
limh→0e0+h−e0h=1\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{e^{0+h}-e^0}{h}=1 h→0lim he0+h−e0 =1
左边实际上就是 exe^xex 的导数在 x=0x=0x=0 处的样子，又因为 exe^xex 的导数就是 exe^xex，所以左边极限就等于 e0e^0e0，化简得到 111，QED!QED!QED!
9. 取对数求导法
9.1. 什么是取对数求导法
对于 y=axy=a^xy=ax，求 ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy ，实际上你也可以用另一种方式来求解：取对数求导法。
取对数求导法的核心思想就是等式两边同时取对数，再用隐函数求导进行计算。
例如这里，两边同时取对数：
lny=xlna\ln{y}=x\ln{a} lny=xlna
然后同时求导：
1yΔyΔx=lna\dfrac{1}{y}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\ln{a} y1 ΔxΔy =lna
移项，得到：
ΔyΔx=ylna=axlna\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=y\ln{a}=a^x\ln{a} ΔxΔy =ylna=axlna
本质上没有什么太大的区别，因为我们之前证明的时候也是取了对数的。
但取对数求导法的用途不止这么点。
9.2. 取对数求导法的用途
所谓取对数，有一个性质：
loga(bc)=cloga(b)\log_a(b^c)=c\log_a(b) loga (bc)=cloga (b)
这里通过取对数的方式把指数变成了系数，说明它的一个用途是处理函数为幂的形式（尤其是指数为关于 xxx 的函数时）的求导问题。
我们来看一个例子：y=xxy=x^xy=xx 关于 xxx 求导会变成什么？
根据上面的说明，此处指数是关于 xxx 的函数，因此可以使用取对数求导法。两边同时取对数：
lny=xlnx\ln{y}=x\ln{x} lny=xlnx
接着同时关于 xxx 求导：
ΔΔxlny=ΔΔxxlnx\dfrac{\Delta}{\Delta x}\ln{y}=\dfrac{\Delta}{\Delta x}x\ln{x} ΔxΔ lny=ΔxΔ xlnx
左边利用链求导可以得到 1yΔyΔx\dfrac{1}{y}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}y1 ΔxΔy ，而右边利用乘积法则“左函乘右导+右函乘左导”可以得到 1+lnx1+\ln{x}1+lnx。因此：
1yΔyΔx=1+lnx\dfrac{1}{y}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=1+\ln{x} y1 ΔxΔy =1+lnx
移项：
ΔyΔx=(1+lnx)y=(1+lnx)xx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=(1+\ln{x})y=(1+\ln{x})x^x ΔxΔy =(1+lnx)y=(1+lnx)xx
从上面的例子中不难看出，取对数求导法是一个很强大的工具，尤其在指数中包含 xxx 的时候，可以通过取对数将指数变为系数，从而利用乘积法则和链求导进一步进行计算得到答案。
9.3. 幂函数的导数
我们在上一帖中聊过关于幂函数 xnx^nxn 指数 nnn 为自然数时的导数为 nxn−1nx^{n-1}nxn−1，这个结论在 nnn 为任意实数是都适用。但是上次我们证明时利用的是二项式定理，虽然还有广义二项式定理，但是那个证明起来无疑会变得很麻烦，不如试试我们的取对数求导法。
依旧，先令 y=xny=x^ny=xn，那么我们所需要做的就是求 ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}ΔxΔy 。两边同时取对数：
lny=nlnx\ln{y}=n\ln{x} lny=nlnx
求导：
ΔΔxlny=ΔΔxnlnx\dfrac{\Delta}{\Delta x}\ln{y}=\dfrac{\Delta}{\Delta x}n\ln{x} ΔxΔ lny=ΔxΔ nlnx
左边利用链求导得到 1yΔyΔx\dfrac{1}{y}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}y1 ΔxΔy ，而右边则是 nx\dfrac{n}{x}xn ，因此：
1yΔyΔx=nx\dfrac{1}{y}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{n}{x} y1 ΔxΔy =xn
移项：
ΔyΔx=nyx=n(xn)x=nxn−1\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{ny}{x}=\dfrac{n(x^n)}{x}=nx^{n-1} ΔxΔy =xny =xn(xn) =nxn−1
这说明，取对数求导法也可以用于幂函数上，只要你的函数形式为f(x)g(x)f(x)^{g(x)}f(x)g(x)，甚至其中某一个是常值函数，也能够利用取对数求导法进行求导。
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预告：下次更新“详解函数#6 导数(3)”内容会有一点多，主要讲三角函数、双曲函数、反三角函数、反双曲函数的导数，注意用脑量！
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往期话题：
详解函数#1 幂函数、指数函数和对数函数
详解函数#2 三角函数
详解函数#3 极限
详解函数#4 导数(1)
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参考文献：《普林斯顿微积分》
