没想好。下午写基础的吧。
@cjdst，挂一个
致歉：本文部分MarkDown是DeepSeek完成的，因为帖主的水平实在菜菜。对不起。
PT.1 前置知识
1.点
点的话可以看做地球上的你的位置，你所处的地方肯定可以用经纬度这种坐标来表示，那么点也要用一个坐标来表示，平面上的点用坐标表示为: P(x,y)\boldsymbol{P(x,y)}P(x,y)，其中 xxx 和 yyy 分别为横、纵坐标（不懂请自行学习平面直角坐标系的基础知识）。
点的模版
无参构造允许直接定义变量不初始化，带参构造则可以快速创建点。
这就是带参构造创建点。
两点 A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ) 之间的距离公式：dis=(x1−x2)2+(y1−y2)2dis=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}dis=(x1 −x2 )2+(y1 −y2 )2
2.1向量
向量就是有大小，有方向，可平移的有向线段，类似于你家在马路上的汽车，虽然汽车不能平移，我们平常说的"25°C、10m、5cm25°C、10m、5cm25°C、10m、5cm"这种不是向量，向量代表长度加方向，例如向东走333米，速度向南3m/s3m/s3m/s。
在平面几何里，我们用带箭头的线段表示向量：
AB→\overrightarrow{AB}AB : 起点 AAA ，终点 BBB ，箭头指向 BBB 。
坐标表示：AB→=B−A=(xB−xA, yB−yA)\overrightarrow{AB}=B-A=(x_B-x_A,\ y_B-y_A)AB=B−A=(xB −xA , yB −yA )
向量可以直接用Point结构体存储（计算几何惯例）
2.2向量的基础运算
设两个点 a(x1,y1),b(x2,y2)\boldsymbol{a}(x_1,y_1),\boldsymbol{b}(x_2,y_2)a(x1 ,y1 ),b(x2 ,y2 )
1.加法：a+b=(x1+x2,y1+y2)a+b=(x_1+x_2,y_1+y_2)a+b=(x1 +x2 ,y1 +y2 )
2.减法：a−b=(x1−x2,y1−y2)a-b=(x_1-x_2,y_1-y_2)a−b=(x1 −x2 ,y1 −y2 )
3.数乘：k⋅a=(k⋅x1,k⋅y1)k\cdot\boldsymbol{a}=(k\cdot x_1,k\cdot y_1)k⋅a=(k⋅x1 ,k⋅y1 )
2.3向量的注意事项
1.向量没有固定起点，只有坐标，平移之后仍是同个向量
2.向量减法：终点 - 起点
3.浮点问题：全部使用double，禁止int直接参与几何运算
4.不要用角度或斜率判断位置关系，避免分母为 000 ，三角函数精度爆炸
5.精度处理：定义const double eps=1e-8;，只要两个数差距小于 epsepseps ，我们就认为这两数相等，这个 epsepseps 是 1×10−8=0.000000011\times 10^{-8} = \boldsymbol{0.00000001}1×10−8=0.00000001
判断正负模版：
这里使用绝对值函数因为double类型有误差，直接用 ====== 判断极端情况下会出错。
PT.2 点积和叉积
点积
点积就是数量积，设平面 222 个向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)\boldsymbol a=(x_1,y_1),\quad \boldsymbol b=(x_2,y_2)a=(x1 ,y1 ),b=(x2 ,y2 )，那 a⋅b=x1x2+y1y2\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b = x_1x_2 + y_1y_2a⋅b=x1 x2 +y1 y2 ，几何意义为 a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol
b|\cos\thetaa⋅b=∣a∣∣b∣cosθ，这里的 θ\thetaθ 表示两个向量的夹角，这个东西的用处可以用来判断夹角大小，求向量模长平方 a⋅a=x12+y12=∣a∣2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol a = x_1^2+y_1^2=|\boldsymbol a|^2a⋅a=x12 +y12 =∣a∣2 ，也可以求投影长度，感兴趣的可以自己查阅下资料（因为我菜菜讲不了）。
叉积
差积是向量积，设平面 2 个向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)\boldsymbol a=(x_1,y_1),\quad \boldsymbol b=(x_2,y_2)a=(x1 ,y1 ),b=(x2 ,y2 )，有a×b=x1y2−x2y1\boldsymbol a \times \boldsymbol b = x_1y_2 - x_2y_1a×b=x1 y2 −x2 y1 ，这里的符号 ××× 不是我们用的 ∗*∗ ，而是专门用来区分点积的。
叉积的几何意义为 a×b=∣a∣∣b∣sinθ\boldsymbol a\times\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin\thetaa×b=∣a∣∣b∣sinθ ，这里的绝对值为由 a,b 围成平行四边形的面积。
站在向量 a\boldsymbol aa 终点看向 b\boldsymbol bb ：
a×b>0\boldsymbol a \times \boldsymbol b > 0a×b>0：b\boldsymbol bb 在 a\boldsymbol aa 逆时针左侧
a×b<0\boldsymbol a \times \boldsymbol b < 0a×b<0：b\boldsymbol bb 在 a\boldsymbol aa 顺时针右侧
a×b=0\boldsymbol a \times \boldsymbol b = 0a×b=0：两向量共线（同向 / 反向）
看一道例题。
[Concentric Circles] Adjacent Sums (easy)
题意
平面上，是否存在两个同心圆 C1,C2C_1,C_2C1 ,C2 （圆心相同，可以是同一个圆）满足：
P,QP,QP,Q 两点落在 C1C_1C1 的圆周上；
R,SR,SR,S 两点落在 C2C_2C2 的圆周上。
继续简化就是是否存在一个公共的圆心，使得 OP=OQ、OR=OSOP=OQ、OR=OSOP=OQ、OR=OS ，想做到这点，必须满足
OP=OQOP=OQOP=OQ：OOO 在线段 PQPQPQ 的垂直平分线上
OR=OSOR=OSOR=OS：OOO 在线段 RSRSRS 的垂直平分线上
问题就变成了两条垂直平分线是否有交点。
哇，真的好简洁。
设：
L1L_1L1 ：PQPQPQ 的垂直平分线
L2L_2L2 ：RSRSRS 的垂直平分线
如果他们平行且重合就说明有交点，相交也说明有交点。
设三点 A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 )，动点 O(x,y)O(x,y)O(x,y) ，垂直平分线的条件为 ∣OA∣2=∣OB∣2|OA|^2=|OB|^2∣OA∣2=∣OB∣2 ，展开即得
(x−x1)2+(y−y1)2=(x−x2)2+(y−y2)2(x-x_1)^2+(y-y_1)^2 = (x-x_2)^2+(y-y_2)^2(x−x1 )2+(y−y1 )2=(x−x2 )2+(y−y2 )2 ，再通过一系列的移项和整理（这里不过多概述），即可得到 2(x2−x1)x+2(y2−y1)y=x22+y22−x12−y122(x_2-x_1)x + 2(y_2-y_1)y = x_2^2+y_2^2 - x_1^2-y_1^22(x2 −x1 )x+2(y2 −y1 )y=x22 +y22 −x12 −y12 ，也就是 Ax+By=C\boldsymbol{Ax + By =
C}Ax+By=C ，那么可得
L1L_1L1 （PQPQPQ 垂直平分线）：A1x+B1y=C1A_1x+B_1y=C_1A1 x+B1 y=C1
L2L_2L2 （RSRSRS 垂直平分线）：A2x+B2y=C2A_2x+B_2y=C_2A2 x+B2 y=C2
判别条件：D=A1B2−A2B1≠0D = A_1B_2 - A_2B_1 \neq 0D=A1 B2 −A2 B1 =0 或者 D=A1B2−A2B1=0D = A_1B_2 - A_2B_1 = 0D=A1 B2 −A2 B1 =0 (重合的平行) 就输出 YesYesYes ，否则输出 NoNoNo 。
这里的 DDD 就是向量 (A1,A2)(A_1,A_2)(A1 ,A2 ) 与 (B1,B2)(B_1,B_2)(B1 ,B2 ) 的叉积。
不知道为什么 long long 被卡了。
PT.3 向量常用操作
bababababba
PT.4 直线 & 线段
abababba
PT.5 多边形基础
多边形面积（利用叉积）
判断点在多边形内部（射线法）
PT.6 凸包 ANDREW 算法
ababababa
P2742 圈奶牛（凸包求周长）
详见大佬的讲解
结束了
剩下的希望早点写完。
