某校暑假作业二次函数题目参考答案错误说明\LARGE\textbf{某校暑假作业二次函数题目参考答案错误说明} 某校暑假作业二次函数题目参考答案错误说明
我们再次找出了一道数学题目的问题，再一次肯定了数学需要严谨的证明。我们再次找出了一道数学题目的问题，再一次肯定了数学需要严谨的证明。 我们再次找出了一道数学题目的问题，再一次肯定了数学需要严谨的证明。
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> 题目来源：杭州某校2026年新高一数学暑假作业试卷第三张二次函数卷第五题
原题：
配套答案：
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原配套答案将本题判断为 A。经重新核验可以发现，该解析在图形位置判断和韦达定理的使用上均存在错误。若按照题目“如图”所给出的几何位置关系理解，则本题正确选项应为 B、D，而非 A。
需要首先说明：以下推导把题图中的相对位置作为题设的一部分，即图中点 DDD 位于 xxx 轴上方，点 AAA 位于原点 OOO 的右侧且在对称轴 x=1x=1x=1 的左侧，点 BBB 位于对称轴右侧，同时题干明确给出点 CCC 在点 BBB 的右侧。
设抛物线为
y=ax2+bx+c,y=ax^2+bx+c, y=ax2+bx+c,
直线为
y=kx+c.y=kx+c. y=kx+c.
两图象均经过 yyy 轴上的点 DDD，故
D=(0,c).D=(0,c). D=(0,c).
由题图可知 DDD 位于 xxx 轴上方，因此
c>0.c>0. c>0.
设抛物线与 xxx 轴的两个交点为
A=(xA,0),B=(xB,0).A=(x_A,0),\qquad B=(x_B,0). A=(xA ,0),B=(xB ,0).
由图中位置有
0<xA<1<xB.0<x_A<1<x_B. 0<xA <1<xB .
抛物线的对称轴为 x=1x=1x=1，因此两个零点关于 x=1x=1x=1 对称，从而
xA+xB=2.x_A+x_B=2. xA +xB =2.
又因为
OA=OD,OA=OD, OA=OD,
而 xA>0, c>0x_A>0,\ c>0xA >0, c>0，故
xA=c.x_A=c. xA =c.
于是
xB=2−c.x_B=2-c. xB =2−c.
结合 0<xA<10<x_A<10<xA <1，得到
0<c<1.0<c<1. 0<c<1.
下面求 a,ba,ba,b。
对于二次方程
ax2+bx+c=0,ax^2+bx+c=0, ax2+bx+c=0,
由韦达定理，两个根的乘积应为
xAxB=ca,x_Ax_B=\frac ca, xA xB =ac ,
而不是原配套答案中写出的 xAxB=cax_Ax_B=caxA xB =ca。
代入 xA=c, xB=2−cx_A=c,\ x_B=2-cxA =c, xB =2−c，得
c(2−c)=ca.c(2-c)=\frac ca. c(2−c)=ac .
因为 c>0c>0c>0，可以约去 ccc，从而
a=12−c>0.a=\frac1{2-c}>0. a=2−c1 >0.
又由对称轴
−b2a=1,-\frac b{2a}=1, −2ab =1,
得到
b=−2a=−22−c<0.b=-2a=-\frac2{2-c}<0. b=−2a=−2−c2 <0.
这也与题图中抛物线开口向上的形状一致。
再研究直线
y=kx+c.y=kx+c. y=kx+c.
它与 xxx 轴交于点 CCC，故 CCC 的横坐标为
xC=−ck.x_C=-\frac ck. xC =−kc .
题设给出 CCC 在 BBB 的右侧，因此
xC>xB=2−c>0.x_C>x_B=2-c>0. xC >xB =2−c>0.
由于 c>0c>0c>0 而 xC>0x_C>0xC >0，必有
k<0.k<0. k<0.
再由
−ck>2−c-\frac ck>2-c −kc >2−c
且 k<0k<0k<0，两边乘以 kkk 时不等号反向，得到
−c<k(2−c).-c<k(2-c). −c<k(2−c).
因为 2−c>02-c>02−c>0，故
k>−c2−c.k>-\frac c{2-c}. k>−2−cc .
因此 kkk 的范围为
−c2−c<k<0.-\frac c{2-c}<k<0. −2−cc <k<0.
现在逐项判断。
对于 A 项，
abc=12−c⋅(−22−c)c=−2c(2−c)2<0.abc= \frac1{2-c}\cdot \left(-\frac2{2-c}\right)c = -\frac{2c}{(2-c)^2}<0. abc=2−c1 ⋅(−2−c2 )c=−(2−c)22c <0.
因此 abc>0abc>0abc>0 不成立，A 错。
对于 B 项，由
b<0<cb<0<c b<0<c
立即得到
3b<0<2c,3b<0<2c, 3b<0<2c,
所以
3b<2c3b<2c 3b<2c
恒成立，B 对。
对于 C 项，
a+b=12−c−22−c=−12−c.a+b = \frac1{2-c}-\frac2{2-c} = -\frac1{2-c}. a+b=2−c1 −2−c2 =−2−c1 .
因为 0<c<10<c<10<c<1，所以
−1<−c,-1<-c, −1<−c,
而 2−c>02-c>02−c>0，故
−12−c<−c2−c.-\frac1{2-c} < -\frac c{2-c}. −2−c1 <−2−cc .
再结合
−c2−c<k,-\frac c{2-c}<k, −2−cc <k,
可得
a+b=−12−c<−c2−c<k.a+b = -\frac1{2-c} < -\frac c{2-c} < k. a+b=−2−c1 <−2−cc <k.
所以
a+b≠k,a+b\ne k, a+b=k,
C 错。
对于 D 项，
ac+k=c2−c+k.ac+k = \frac c{2-c}+k. ac+k=2−cc +k.
由
k>−c2−c,k>-\frac c{2-c}, k>−2−cc ,
得
ac+k>0.ac+k>0. ac+k>0.
另一方面，由 k<0k<0k<0，有
ac+k<c2−c.ac+k<\frac c{2-c}. ac+k<2−cc .
又因为 0<c<10<c<10<c<1，所以
c<2−c,c<2-c, c<2−c,
即
c2−c<1.\frac c{2-c}<1. 2−cc <1.
因此实际上有更强的结论
0<ac+k<1,0<ac+k<1, 0<ac+k<1,
自然满足
0<ac+k≤1.0<ac+k\le 1. 0<ac+k≤1.
故 D 对。
综上，在按照题图所表达的位置关系进行理解时，本题正确选项为
B, D.\boxed{B,\ D}. B, D .
原配套答案的错误主要有两个关键来源。首先，它将图中的点 AAA 判断成“在原点左侧，即 xA<0x_A<0xA <0”，这与题图中 AAA 明显位于原点右侧相矛盾；其次，它将韦达定理的根积错误写成
xAxB=ca,x_Ax_B=ca, xA xB =ca,
而正确公式应为
xAxB=ca.x_Ax_B=\frac ca. xA xB =ac .
随后原解析又转而采用 c<0c<0c<0 的分支继续推导，而 c<0c<0c<0 意味着 D=(0,c)D=(0,c)D=(0,c) 位于 xxx 轴下方，同样与题图不符。因此，原解析最终推出 abc>0abc>0abc>0 并选择 A 的推理链条不能成立。
关于题目本身严谨性的进一步说明
这里还存在一个需要区分的问题：上述答案 B、D 是在把图中的位置关系视为已知条件的前提下得到的。如果完全不利用图中 DDD 在 xxx 轴上方、AAA 在原点右侧等信息，只按照题干文字，则条件并不足以唯一确定答案。
例如取
c=−2,a=14,b=−12,k=14.c=-2,\qquad a=\frac14,\qquad b=-\frac12,\qquad k=\frac14. c=−2,a=41 ,b=−21 ,k=41 .
此时抛物线为
y=14x2−12x−2=14(x+2)(x−4),y=\frac14x^2-\frac12x-2 =\frac14(x+2)(x-4), y=41 x2−21 x−2=41 (x+2)(x−4),
其两个零点可以取
A=(−2,0),B=(4,0),A=(-2,0),\qquad B=(4,0), A=(−2,0),B=(4,0),
对称轴仍为 x=1x=1x=1。同时
D=(0,−2),D=(0,-2), D=(0,−2),
因而
OA=OD=2.OA=OD=2. OA=OD=2.
直线
y=14x−2y=\frac14x-2 y=41 x−2
与 xxx 轴交于
C=(8,0),C=(8,0), C=(8,0),
确有 CCC 在 BBB 的右侧。也就是说，这组数据满足题干的文字条件，但此时
abc>0,abc>0, abc>0,
A 项反而成立。
这说明：若题图的位置关系不被视为正式条件，原题本身就是条件不充分的。
因此，更规范的题目应在文字中明确补充类似条件：
> 点 DDD 位于 xxx 轴上方，点 AAA 位于原点 OOO 与直线 x=1x=1x=1 之间。
在这一条件下，以上推导才无需依赖示意图即可严格得到 B、D。
最终结论是：原配套答案的推导确有实质性错误；按照题图所表示的位置关系，A 错，B、D 均正确，C 错。若原题被设置为单项选择题，则选项设置本身也存在问题；若为多项选择题，则答案应为 B,D\boxed{B,D}B,D 。
