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这个帖子适合有一点整式运算的基础的人来看，有点难。
那么好，我们直入正题：这个帖子讲一元二次方程，首先大家必须要会因式分解，不会的看这个\color{green}{这个}这个
1.一元二次方程的概念
有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的方程叫一元二次方程，简单吧。注意：0x2+x−1=00x^2+x-1=00x2+x−1=0不是一元二次方程，因为二次项系数为零
例题：
1.下列方程有几个是一元二次方程？
(1).x2+2x=0(1).x^2+2x=0(1).x2+2x=0
(2).(1x)2+x=0(2).(\frac{1}{x})^2+x=0(2).(x1 )2+x=0
(3).x+y2=0(3).x+y^2=0(3).x+y2=0
(4).114514x2+1919810x=1145141919810(4).114514x^2+1919810x=1145141919810(4).114514x2+1919810x=1145141919810
(5).731x2−365x−114514=0(5).731x^2-365x-114514=0(5).731x2−365x−114514=0
一元二次方程有三个，分别是(1)(1)(1),(4)(4)(4)和(5)(5)(5)
其中，(2)(2)(2)同时带有-2次和1次，(3)(3)(3)有2元，他们都不是一元二次方程
2.一元二次方程的解法
先来一些简单的：
x2−4=0x^2-4=0x2−4=0
这是，有人说：这题好简单啊，不就是2吗？(其实就是我同学)
首先，移项，得 x2=4x^2=4x2=4
等式两边同时开根号，得 x=±2x=±2x=±2 《不就是2吗》
这种非常简单，所以只给两道例题
1.x2−13=3xx^2-13=3xx2−13=3x
2.(x−1)2+2x=2(x-1)^2+2x=2(x−1)2+2x=2
下一种，难度提升了一点点：
x2+2x+1=0x^2+2x+1=0x2+2x+1=0
这道题可以将左式因式分解，得到 (x+1)2=0(x+1)^2=0(x+1)2=0,x+1=0x+1=0x+1=0,x=−1x=-1x=−1
x2−5x+6=0x^2-5x+6=0x2−5x+6=0
这道题类似，直接因式分解 (x−2)(x−3)=0(x-2)(x-3)=0(x−2)(x−3)=0,x1=2x_1=2x1 =2，x2=3x_2=3x2 =3
难度一点一点地上来了，一会就是亿点亿点地上来了。
例题：
1.x2−10+24=0x^2-10+24=0x2−10+24=0
2.3x2+3(2x+1)=03x^2+3(2x+1)=03x2+3(2x+1)=0
OK,从这里难度开始大幅度提升。
x2=x+1x^2=x+1x2=x+1
这个方程怎么解？
这里就要套用我们的万能公式：
对于一般形式的二次方程：
ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2+bx+c=0\quad(a\neq0) ax2+bx+c=0(a=0)
它的根为：
x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x=2a−b±b2−4ac
比如对于刚刚那个方程 x2=x+1x^2=x+1x2=x+1，移项，得 x2−x−1=0x^2-x-1=0x2−x−1=0
此时，a=1a=1a=1，b=−1b=-1b=−1，c=−1c=-1c=−1，套公式，
x=−(−1)±(−1)2−4×1(−1)2×1=5±12x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4×1(-1)}}{2×1}=\frac{\sqrt{5}±1}{2} x=2×1−(−1)±(−1)2−4×1(−1) =25 ±1
也是非常简单这里，我们称 b2−4acb^2-4acb2−4ac 为 ΔΔΔ ,读作 “delta”“delta”“delta”
当 Δ>0Δ>0Δ>0 时，二次方程有两不等实数根
当 Δ=0Δ=0Δ=0 时，二次方程有两相等实数根
(注意，此时要写x1=x2=...)\color{red}{(注意，此时要写 x_1=x_2=...)}(注意，此时要写x1 =x2 =...)
当 Δ<0Δ<0Δ<0 时，二次方程无实数根
在这里给大家补充一下因式分解的内容：
因式分解： ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c
过程就不写了，我也不会。结果是 a(x−x1)(x−x2)a(x-x_1)(x-x_2)a(x−x1 )(x−x2 )
其中：
x1=−b+b2−4ac2ax2=−b−b2−4ac2ax_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x1 =2a−b+b2−4ac x2 =2a−b−b2−4ac
分解结果：
x2+x−1=(x−x1)(x−x2)=(x+1−52)(x+1+52)x^2+x-1=(x-x_1)(x-x_2)=(x+\frac{1-\sqrt{5}}{2})(x+\frac{1+\sqrt{5}}{2}) x2+x−1=(x−x1 )(x−x2 )=(x+21−5 )(x+21+5 )
例题：
(1).因式分解: x2−2x−1x^2-2x-1x2−2x−1
(2).因式分解: 7x2−3x−17x^2-3x-17x2−3x−1
拓展一下韦达定理：
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0，他的两根之和 x1+x2=−bax_1+x_2=-\frac{b}{a}x1 +x2 =−ab ；他的两根之积 x1x2=cax_1x_2=\frac{c}{a}x1 x2 =ac
至于怎么推的，把两根的求根公式 加/乘 一下就好了。
韦达定理的应用：
创造一个一元二次方程，令其两根之和为 555，两根之积为 777。
令这个方程为 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0
令 a=1a=1a=1。
则 −b1=5-\frac{b}{1}=5−1b =5，c1=7\frac{c}{1}=71c =7，b=−5,c=7b=-5,c=7b=−5,c=7。
所以答案就是 x2−5x+7x^2-5x+7x2−5x+7（不唯一）
先写到这里，留道难题给大家研究：
12x4+56x3+89x2+56x+12=012x^4+56x^3+89x^2+56x+12=012x4+56x3+89x2+56x+12=0
ok,教大家一下这道题。
1.证明 X≠0X\NEQ0X=0
把 x=0x=0x=0 带入原方程，得 12=012=012=0，不成立，所以 x≠0x\neq0x=0，且 x2≠0x^2\neq0x2=0。
2.化简方程
等式两遍同时除以 x2x^2x2 ，得
12x2+56x+89+561x+12(1x)2=012x^2+56x+89+56\frac{1}{x}+12(\frac{1}{x})^2=0 12x2+56x+89+56x1 +12(x1 )2=0
3.创造同类项
提取公因数：
12[x2+(1x)2]+56(x+1x)+89=012[x^2+(\frac{1}{x})^2]+56(x+\frac{1}{x})+89=0 12[x2+(x1 )2]+56(x+x1 )+89=0
观察 12[x2+(1x)2]12[x^2+(\frac{1}{x})^2]12[x2+(x1 )2]，它等于
12[x2+2+(1x)2]−2412[x^2+2+(\frac{1}{x})^2]-24 12[x2+2+(x1 )2]−24
将 12[x2+2+(1x)2]12[x^2+2+(\frac{1}{x})^2]12[x2+2+(x1 )2] 因式分解，得
12[x2+2+(1x)2]=12(x+1x)212[x^2+2+(\frac{1}{x})^2]=12(x+\frac{1}{x})^2 12[x2+2+(x1 )2]=12(x+x1 )2
代入，得
12(x+1x)2−24+56(x+1x)+89=012(x+\frac{1}{x})^2-24+56(x+\frac{1}{x})+89=0 12(x+x1 )2−24+56(x+x1 )+89=0
化简，得
12(x+1x)2+56(x+1x)+65=012(x+\frac{1}{x})^2+56(x+\frac{1}{x})+65=0 12(x+x1 )2+56(x+x1 )+65=0
4.换元
令 (x+1x)(x+\frac{1}{x})(x+x1 ) 为 yyy。
化简原式，得
12y2+56y+65=012y^2+56y+65=0 12y2+56y+65=0
因式分解，得
(6y+13)(2y+5)=0(6y+13)(2y+5)=0 (6y+13)(2y+5)=0
,
y1=−136,y2=−52y_1=-\frac{13}{6},y_2=-\frac{5}{2} y1 =−613 ,y2 =−25
5. YYY 代 XXX
把 y1=−136,y2=−52y_1=-\frac{13}{6},y_2=-\frac{5}{2}y1 =−613 ,y2 =−25 代入 y=x+1xy=x+\frac{1}{x}y=x+x1 ，得
x+1x=−136x+\frac{1}{x}=-\frac{13}{6} x+x1 =−613
,
x+1x=−52x+\frac{1}{x}=-\frac{5}{2} x+x1 =−25
移项，化简，得
2x2+5x+2=02x^2+5x+2=0 2x2+5x+2=0
,
6x2+13x+6=06x^2+13x+6=0 6x2+13x+6=0
6.求根
因式分解，得
(x+2)(2x+1)=0(x+2)(2x+1)=0 (x+2)(2x+1)=0
,
(2x+3)(3x+2)=0(2x+3)(3x+2)=0 (2x+3)(3x+2)=0
所以答案为：
x1=−2,x2=−12,x3=−32,x4=−23x_1=-2,x_2=-\frac{1}{2},x_3=-\frac{3}{2},x_4=-\frac{2}{3} x1 =−2,x2 =−21 ,x3 =−23 ,x4 =−32
这不是分式方程，也不是无理方程，所以不用验增根（还是推荐大家验一下，毕竟验个根只用带入计算就行）
不等式：
1.一元二次不等式的概念
含有一个未知数，且未知数的最高次项是 222 的不等式叫叫一元二次不等式。
比如：x2−x−5<0x^2-x-5<0x2−x−5<0、114514x2−1919810x−1145141919810≥0114514x^2-1919810x-1145141919810≥0114514x2−1919810x−1145141919810≥0
2.一元二次不等式的解法
一般一元二次不等式有两种解法：
1.普普通通的因式分解
写这么小，说明很简单
2.比较难的二次函数
先来看第一种，因式分解\TINY{因式分解}因式分解
比如 ax2+bx+c<0ax^2+bx+c<0ax2+bx+c<0
用 Δ\DeltaΔ 进行因式分解，得到
ax2+bx+c=a(x−−b+b2−4ac2a)(x−−b−b2−4ac2a)ax^2+bx+c=a\left(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \left(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) ax2+bx+c=a(x−2a−b+b2−4ac )(x−2a−b−b2−4ac )
不等式类型 a>0a>0a>0时的解集 a<0a<0a<0时的解集 (x−p)(x−q)>0(x−p)(x−q)>0(x−p)(x−q)>0 x<px<px<p或x>qx>qx>q p<x<qp<x<qp<x<q (x−p)(x−q)<0(x−p)(x−q)<0(x−p)(x−q)<0 p<x<qp<x<qp<x<q x<px<px<p或x>qx>qx>q
此时,
p=−b+b2−4ac2ap=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} p=2a−b+b2−4ac
；
q=−b−b2−4ac2aq=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} q=2a−b−b2−4ac
表格里的内容怎么推就不说了......
放心，这次我是知道的
例题：
1.x2−2x+1>0x^2-2x+1>0x2−2x+1>0
2.x2−5x+4<0x^2-5x+4<0x2−5x+4<0
3.5x2+6x−5≥05x^2+6x-5≥05x2+6x−5≥0
再来看看比较难的二次函数
大家首先要认识二次函数，参考这个帖子
1.确定二次函数函数图像开口方向
对于二次不等式 ax2+bx+c(>/≥/</≤/≠)0)ax^2+bx+c(>/≥/</≤/≠)0)ax2+bx+c(>/≥/</≤/=)0)
当 a>0a>0a>0 时，y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c 的抛物线开口朝上。
此时，我们先求解方程ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0
如果方程为 ax2+bx+c≠0ax^2+bx+c≠0ax2+bx+c=0，则直接求出结集：
x≠−b±b2−4ac2ax≠\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x=2a−b±b2−4ac
在抛物线开口朝上时，
如果方程为 ax2+bx+c＞0ax^2+bx+c＞0ax2+bx+c＞0，先取抛物线在 xxx 轴上的两点（即 y=0y=0y=0），求出 xxx 坐标 x1,x2(x1<x2)x_1,x_2(x_1<x_2)x1 ,x2 (x1 <x2 )，然后直接求出解集：x<x1x<x_1x<x1 或 x>x2x>x_2x>x2
如果方程为 ax2+bx+c<0ax^2+bx+c<0ax2+bx+c<0，先取抛物线在 xxx 轴上的两点（即 y=0y=0y=0），求出 xxx 坐标 x1,x2(x1<x2)x_1,x_2(x_1<x_2)x1 ,x2 (x1 <x2 )，然后直接求出解集：x1<x<x2x_1<x<x_2x1 <x<x2 ；
在抛物线开口朝下时，
如果方程为 ax2+bx+c＞0ax^2+bx+c＞0ax2+bx+c＞0，先取抛物线在 xxx 轴上的两点（即 y=0y=0y=0），求出 xxx 坐标x1,x2(x1<x2)x_1,x_2(x_1<x_2)x1 ,x2 (x1 <x2 )，然后直接求出解集：x1<x<x2x_1<x<x_2x1 <x<x2
如果方程为ax2+bx+c<0ax^2+bx+c<0ax2+bx+c<0，先需取抛物线在 xxx 轴上的两点（即 y=0y=0y=0），求出 xxx 坐标 x1,x2(x1<x2)x_1,x_2(x_1<x_2)x1 ,x2 (x1 <x2 )，然后直接求出解集：x<x1x<x_1x<x1 或 x>x2x>x_2x>x2
这已经是9年级的内容了，我还想写相似三角形的帖子(相似三角形物理会用，所以要着重写，但是ACGO貌似没有留给图形的Latex，所以我也不知道怎么办，AC君，你看看咋整）
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