数列与规律：等差数列
0. 目录
> 1. 等差数列的定义与基本概念
> 2. 等差数列通项公式的推导
>
> > 2.1方法一：递推法（迭代法）
> > 2.2方法二：叠加法（累加法）
> > 2.3方法三：数学归纳法
> > 2.4公式总结
>
> 3. 等差数列求和公式推导
>
> > 3.1方法一：高斯求和法（倒序相加法）
> > 3.2方法二：通项代入法
> > 3.3方法三：分组求和法
> > 3.4公式总结
>
> 4. 等差数列的性质与二级结论
> 5. 等差数列在奥赛中的应用
>
> > 5.1题型一：求特定项的值
> >
> > > 5.1.1例一
> > > 5.1.2例二
>
> > 5.2：求项数
> >
> > > 5.2.1例三
>
> > 5.3：求和问题
> >
> > > 5.3.1例四
>
> > 5.4：综合应用题
> >
> > > 5.4.1例五
> > > 5.4.2例六
1. 等差数列的定义与基本概念
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数的数列。这个常数被称为公差，通常用字母 ddd 表示。例如：
* 数列 1,3,5,7,91, 3, 5, 7, 91,3,5,7,9 就是一个公差为 222 的等差数列
* 数列 2,5,8,11,142, 5, 8, 11, 142,5,8,11,14 就是一个公差为 333 的等差数列。
在数学表达上，如果一个数列 an{a_{n}}an 满足 an+1{a_{n+1}}an+1 - an{a_{n}}an = d（ n≥1n≥1n≥1 ， ddd 为常数），那么这个数列就是等差数列。等差数列的基本要素包括：
* 首项：数列的第一项，记为 a1{a_{1}}a1
* 公差：相邻两项的差值，记为 ddd
* 项数：数列中项的个数，记为 nnn
* 通项：数列的第 nnn 项，记为 an{a_{n}}an
2. 等差数列通项公式的推导
等差数列通项公式的推导过程体现了数学归纳法和递推思想的完美结合。我们可以通过以下几种方法推导出通项公式：
2.1方法一：递推法（迭代法）
根据等差数列的定义，我们可以依次写出各项：
* 第 1 项：a1=a1{a_{1}} = {a_{1}}a1 =a1
* 第 2 项：a2=a1+d{a_{2}} = {a_{1}} + da2 =a1 +d
* 第 3 项：a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d{a_{3}} = {a_{2}} + d = ({a_{1}} + d) + d = {a_{1}} + 2da3 =a2 +d=(a1 +d)+d=a1 +2d
* 第 4 项：a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d{a_{4}} = {a_{3}} + d = ({a_{1}} + 2d) + d = {a_{1}} + 3da4 =a3 +d=(a1 +2d)+d=a1 +3d
* ...
* 第 n 项：an=a1+(n−1)d{a_{n}} = {a_{1}} + (n-1)dan =a1 +(n−1)d
通过观察可以发现，第 nnn 项等于首项加上 (n−1)(n-1)(n−1) 个公差，因此等差数列的通项公式为：
an=a1+(n−1)d{a_{n}} = {a_{1}} + (n-1)dan =a1 +(n−1)d
2.2方法二：叠加法（累加法）
根据等差数列的定义，我们可以列出以下等式：
* a2−a1=d{a_{2}} - {a_{1}} = da2 −a1 =d
* a3−a2=d{a_{3}} - {a_{2}} = da3 −a2 =d
* a4−a3=d{a_{4}} - {a_{3}} = da4 −a3 =d
* ...
* an−an−1=d{a_{n}} - {a_{n-1}} = dan −an−1 =d
将这 (n−1)(n-1)(n−1) 个等式的左边和右边分别相加，得到：
(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+...+(an−an−1)=(n−1)d({a_{2}} - {a_{1}}) + ({a_{3}} - {a_{2}}) + ({a_{4}} - {a_{3}}) + ... + ({a_{n}} - {a_{n-1}}) = (n-1)d(a2 −a1 )+(a3 −a2 )+(a4 −a3 )+...+(an −an−1 )=(n−1)d
左边经过抵消后只剩下 an−a1aₙ - a₁an −a1 ，因此得到：
an−a1=(n−1)d{a_{n}} - {a_{1}} = (n-1)dan −a1 =(n−1)d
即：an=a1+(n−1)d{a_{n}} = {a_{1}} + (n-1)dan =a1 +(n−1)d
2.3方法三：数学归纳法
数学归纳法是证明与自然数相关命题的重要方法，其步骤如下：
1. 基础步骤：当 n=1n=1n=1 时，a1=a1+(1−1)d=a1{a_{1}} = {a_{1}} + (1-1) d = {a_{1}}a1 =a1 +(1−1)d=a1 ，显然成立。
2. 归纳假设：假设当 n=kn=kn=k 时，通项公式成立，即 ak=a1+(k−1)d{a_{k}} = {a_{1}} + (k-1) dak =a1 +(k−1)d。
3. 归纳步骤：当 n=k+1n=k+1n=k+1 时，根据等差数列的定义：
ak+1=ak+d{a_{k+1}} = {a_{k}} + dak+1 =ak +d
=[a1+(k−1)d]+d= [{a_{1}} + (k-1)d] + d=[a1 +(k−1)d]+d
=a1+kd=a1+[(k+1)−1]×d= {a_{1}} + kd = {a_{1}} + [(k+1)-1] × d=a1 +kd=a1 +[(k+1)−1]×d
因此，当 n=k+1n=k+1n=k+1 时公式也成立。根据数学归纳法原理，通项公式对所有正整数 n 都成立。
2.4公式总结
an={a1+(n−1)dam+(n−m)d\begin{equation*} {a_{n}} = \begin{cases} {a_{1}} + (n-1)d \\ {a_{m}} + (n-m)d \end{cases} \end{equation*} an ={a1 +(n−1)dam +(n−m)d
3. 等差数列求和公式推导
等差数列前 n 项和的推导方法有多种，其中最著名的是高斯求和法，相传由德国数学家高斯发现的。
3.1方法一：高斯求和法（倒序相加法）
设等差数列的前 n 项和为 Sn{S_{n}}Sn ，即 Sn=a1+a2+a3+...+an{S_{n}} = {a_{1}} + {a_{2}} + {a_{3}} + ... + {a_{n}}Sn =a1 +a2 +a3 +...+an 。
或
∑i=1nai=a1+a2+a3+...+an\sum_{i=1}^{n} {a_{i}} = {a_{1}} + {a_{2}} + {a_{3}} + ... + {a_{n}} i=1∑n ai =a1 +a2 +a3 +...+an
将 Sn{S_{n}}Sn 倒序写一遍：Sn=an+an−1+an−2+...+a1{S_{n}} = {a_{n}} + {a_{n-1}} + {a_{n-2}} + ... + {a_{1}}Sn =an +an−1 +an−2 +...+a1 。
或
∑i=n1ai=an+an−1+an−2+...+a1\sum_{i=n}^{1} {a_{i}} ={a_{n}} + {a_{n-1}} + {a_{n-2}} + ... + {a_{1}} i=n∑1 ai =an +an−1 +an−2 +...+a1
将两个式子相加：
2Sn=(a1+an)+(a2+an−1)+(a3+an−2)+...+(an+a1)2{S_{n}} = ({a_{1}} + {a_{n}}) + ({a_{2}} + {a_{n-1}}) + ({a_{3}} + {a_{n-2}}) + ... + ({a_{n}} + {a_{1}})2Sn =(a1 +an )+(a2 +an−1 )+(a3 +an−2 )+...+(an +a1 )
根据等差数列的性质，每一对的和都等于 a1+an{a_{1}} + {a_{n}}a1 +an ，共有 n 对，
因此：2Sn=n(a1+an)2{S_{n}} = n({a_{1}} + {a_{n}})2Sn =n(a1 +an )
所以：Sn=n(a1+an)÷2{S_{n}} = n({a_{1}} + {a_{n}}) ÷ 2Sn =n(a1 +an )÷2
3.2方法二：通项代入法
将通项公式 an=a1+(n−1)d{a_{n}} = {a_{1}} + (n-1) dan =a1 +(n−1)d 代入求和公式：
Sn=n(a1+an)÷2=n[a1+a1+(n−1)d]÷2=n[2a1+(n−1)d]÷2{S_{n}} = n ({a_{1}} + {a_{n}}) ÷ 2 = n [{a_{1}} + {a_{1}} + (n-1) d] ÷ 2 = n [2{a_{1}} + (n-1) d] ÷ 2Sn =n(a1 +an )÷2=n[a1 +a1 +(n−1)d]÷2=n[2a1 +(n−1)d]÷2
因此得到等差数列前 n 项和的另一种形式： Sn=n[2a1+(n−1)d]÷2{S_{n}} = n[2{a_{1}} + (n-1)d] ÷ 2Sn =n[2a1 +(n−1)d]÷2
3.3方法三：分组求和法
将等差数列的前 nnn 项和 SnSₙSn 写成：
Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+...+[a1+(n−1)d]{S_{n}} = {a_{1}} + ({a_{1}} + d) + ({a_{1}} + 2d) + ... + [{a_{1}} + (n-1) d]Sn =a1 +(a1 +d)+(a1 +2d)+...+[a1 +(n−1)d]
将所有的 a1{a_{1}}a1 提出来，得到：
Sn=na1+d[1+2+3+...+(n−1)]{S_{n}} = n{a_{1}} + d [1 + 2 + 3 + ... + (n-1)]Sn =na1 +d[1+2+3+...+(n−1)]
利用自然数求和公式 1+2+3+...+k=k(k+1)÷21 + 2 + 3 + ... + k = k (k+1) ÷ 21+2+3+...+k=k(k+1)÷2，其中 k=n−1k = n-1k=n−1，代入得：
Sn=na1+d(n−1)n÷2=n[a1+(n−1)d÷2]{S_{n}} = n{a_{1}} + d (n-1) n ÷ 2 = n [{a_{1}} + (n-1) d ÷ 2]Sn =na1 +d(n−1)n÷2=n[a1 +(n−1)d÷2]
3.4公式总结
Sn={(a1+an)n2a1n+n(n−1)2d\begin{equation*} {S_{n}} = \begin{cases} \frac{({a_{1}} + {a_{n}})n}{2} \\ {a_{1}}n+ \frac{n(n-1)}{2}d \end{cases} \end{equation*} Sn ={2(a1 +an )n a1 n+2n(n−1) d
4. 等差数列的性质与重要推论
等差数列具有许多重要性质，这些性质在解题中经常用到：
1. 通项公式的变形：an=am+(n−m)d{a_{n}} = {a_{m}} + (n-m)dan =am +(n−m)d，其中 m<nm < nm<n 。此式表明任意两项之间的关系。
2. 等差中项性质：对于等差数列中的任意三项 al,am,ar{a_{l}}, {a_{m}}, {a_{r}}al ,am ,ar ，如果 l+r=2ml + r = 2ml+r=2m，则 al+ar=2am{a_{l}} + {a_{r}} = 2{a_{m}}al +ar =2am 。即中间项是两边项的算术平均数。
3. 项数性质：若数列 {an}\{{a_{n}}\}{an } 是等差数列，公差为 ddd，
则 :
* an+c{a_{n} + c}an +c（ccc 为常数）
* kan{k{a_{n}}}kan （kkk 为常数）
* an+k{a_{n+k}}an+k （kkk 为固定整数）
* Sn,S2n,−Sn,S3n,−S2n,⋯{S_{n}},{S_{2n}},{-S_{n}},{S_{3n}},{-S_{2n}},\cdotsSn ,S2n ,−Sn ,S3n ,−S2n ,⋯
都是等差数列。
4. 下标和性质：若 m+n=p+qm + n = p + qm+n=p+q，则 am+an=ap+aq{a_{m}} + {a_{n}} = {a_{p}} + {a_{q}}am +an =ap +aq 。
若 m+n=2pm + n = 2pm+n=2p，则 am+an=2ap{a_{m}} + {a_{n}} = 2{a_{p}}am +an =2ap 。
例： a1+a4+a7⏞3num=3a4=a4+a4+a4⏞3num\overbrace{{a_{1}} + {a_{4}} + {a_{7}}}^{3num} = 3{a_{4}} = \overbrace{{a_{4}} + {a_{4}} + {a_{4}}}^{3num}a1 +a4 +a7 3num =3a4 =a4 +a4 +a4 3num ，此式成立。
而： a1+a4+a7⏟3num=2a6=a6+a6⏟2num\underbrace{{a_{1}} + {a_{4}} + {a_{7}}}_{3num} = 2{a_{6}} = \underbrace{{a_{6}} + {a_{6}}}_{2num}3numa1 +a4 +a7 =2a6 =2numa6 +a6 ，不成立
5. 化简：S2n−1=(2n−1)an{S_{2n-1}} = (2n-1){a_{n}}S2n−1 =(2n−1)an
5. 等差数列在奥赛中的应用
在初中数学奥赛中，等差数列的应用主要体现在以下几个方面：
5.1题型一：求特定项的值
这类题目通常给出等差数列的首项、公差或其他项的值，要求求出指定项的值。
5.1.1：
已知等差数列 2,5,8,11,...，2, 5, 8, 11, ...，2,5,8,11,...， 求第 100100100 项的值。
解：a1=2a₁ = 2a1 =2，d=5−2=3d = 5 - 2 = 3d=5−2=3，根据通项公式：
a100=2+(100−1)×3=2+297=299{a_{100}} = 2 + (100 - 1) × 3 = 2 + 297 = 299a100 =2+(100−1)×3=2+297=299
答：第 100100100 项为 299299299。
5.1.2：
在等差数列中，已知 a5=15，a8=27{a_{5}} = 15，{a_{8}} = 27a5 =15，a8 =27，求 a12{a_{12}}a12 的值。
解：根据通项公式的变形，d=(a8−a5)÷(8−5)=(27−15)÷3=4d = ({a_{8}} - {a_{5}}) ÷ (8 - 5) = (27 - 15) ÷ 3 = 4d=(a8 −a5 )÷(8−5)=(27−15)÷3=4
因此 a12=a8+(12−8)×4=27+16=43{a_{12}} = {a_{8}} + (12 - 8) × 4 = 27 + 16 = 43a12 =a8 +(12−8)×4=27+16=43
答：第 121212 项为 434343。
5.2：求项数
这类题目通常给出等差数列的首项、末项和公差，要求求出数列的项数。
5.2.1：
求等差数列 3,7,11,15,...,993, 7, 11, 15, ..., 993,7,11,15,...,99 共有多少项。
解： a1=3，an=99，d=7−3=4{a_{1}}= 3， {a_{n}} = 99，d = 7 - 3 = 4a1 =3，an =99，d=7−3=4
根据项数公式：n=(an−a1)÷d+1=(99−3)÷4+1=96÷4+1=24+1=25n = ({a_{n}} - {a_{1}}) ÷ d + 1 = (99 - 3) ÷ 4 + 1 = 96 ÷ 4 + 1 = 24 + 1 = 25n=(an −a1 )÷d+1=(99−3)÷4+1=96÷4+1=24+1=25
答：数列共有 252525 项。
5.3：求和问题
这类题目要求求出等差数列前 n 项的和。
5.3.1：
计算 1+3+5+7+...+991 + 3 + 5 + 7 + ... + 991+3+5+7+...+99 的和。
解：这是一个首项为 111，末项为 999999，公差为 222 的等差数列。
n=(99−1)÷2+1=49+1=50n = (99 - 1) ÷ 2 + 1 = 49 + 1 = 50n=(99−1)÷2+1=49+1=50
S50=50×(1+99)÷2=50×100÷2=2500{S_{50}} = 50 × (1 + 99) ÷ 2 = 50 × 100 ÷ 2 = 2500S50 =50×(1+99)÷2=50×100÷2=2500
答：和为 250025002500。
5.4：综合应用题
这类题目通常将等差数列与其他数学知识结合，需要灵活运用等差数列的性质。
5.4.1：
一个剧场共有 252525 排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多 222 个座位，第 252525 排有 707070 个座位，这个剧场共有多少个座位？
解：d=2d = 2d=2， a25=70{a_{25}} = 70a25 =70， n=25n = 25n=25。
a1=a25−(25−1)×2=a25−48=22{a_{1}} = {a_{25}} - (25 - 1) × 2 = {a_{25}} - 48 = 22a1 =a25 −(25−1)×2=a25 −48=22
S25=25×(22+70)÷2=25×92÷2=1150{S_{25}} = 25 × (22 + 70) ÷ 2 = 25 × 92 ÷ 2 = 1150S25 =25×(22+70)÷2=25×92÷2=1150
答：剧场共有 115011501150。
5.4.2：
在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为 656，且第一名的分数超过了 90 分（满分 100 分）。问第一名的分数是多少？
解：设这八名同学的分数构成等差数列 {an{a_{n}}an }，公差为 d（d 为负整数，因为分数递减）。
根据等差数列求和公式：S8=8×(a1+a8)÷2=4×(a1+a8)=656{S_{8}} = 8 × ({a_{1}} + {a_{8}}) ÷ 2 = 4 × ({a_{1}} + {a_{8}}) = 656S8 =8×(a1 +a8 )÷2=4×(a1 +a8 )=656
因此a1+a8=656÷4=164{a_{1}} + {a_{8}} = 656 ÷ 4 = 164a1 +a8 =656÷4=164
又因为 a8=a1+7d{a_{8}} = {a_{1}} + 7da8 =a1 +7d，所以：
a1+(a1+7d)=2a1+7d=164=a1=(164−7d)÷2{a_{1}} + ({a_{1}} + 7d) \\= 2{a_{1}} + 7d = 164 \\= {a_{1}} = (164 - 7d) ÷ 2a1 +(a1 +7d)=2a1 +7d=164=a1 =(164−7d)÷2
由于 a1>90{a_{1}} > 90a1 >90 且 a1≤100{a_{1}} ≤ 100a1 ≤100，且 a1{a_{1}}a1 必须是整数，所以：
当 d=−2d = -2d=−2 时，a1=(164−7×(−2))÷2=(164+14)÷2=178÷2=89{a_{1}} = (164 - 7×(-2)) ÷ 2 = (164 + 14) ÷ 2 = 178 ÷ 2 = 89a1 =(164−7×(−2))÷2=(164+14)÷2=178÷2=89
89≯9089 \ngtr 9089≯90
当 d=−4d = -4d=−4 时，a1=(164−7×(−4))÷2=(164+28)÷2=192÷2=96{a_{1}} = (164 - 7×(-4)) ÷ 2 = (164 + 28) ÷ 2 = 192 ÷ 2 = 96a1 =(164−7×(−4))÷2=(164+28)÷2=192÷2=96
96>9096 > 9096>90
当 d=−6d = -6d=−6 时，a1=(164−7×(−6))÷2=(164+42)÷2=206÷2=103{a_{1}} = (164 - 7×(-6)) ÷ 2 = (164 + 42) ÷ 2 = 206 ÷ 2 = 103a1 =(164−7×(−6))÷2=(164+42)÷2=206÷2=103
103>100103 > 100103>100）
答：第一名的分数是 969696 分。
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