某校暑假作业二次函数题目参考答案错误说明

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零叁柒（已退站）
永恒钻石出题人

2026-08-29 12:57:16

发布于：浙江

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某校暑假作业二次函数题目参考答案错误说明\LARGE\textbf{某校暑假作业二次函数题目参考答案错误说明}

我们再次找出了一道数学题目的问题，再一次肯定了数学需要严谨的证明。我们再次找出了一道数学题目的问题，再一次肯定了数学需要严谨的证明。

题目来源：杭州某校2026年新高一数学暑假作业试卷第三张二次函数卷第五题

原题：

配套答案：

原配套答案将本题判断为 A。经重新核验可以发现，该解析在图形位置判断和韦达定理的使用上均存在错误。若按照题目“如图”所给出的几何位置关系理解，则本题正确选项应为 B、D，而非 A。

需要首先说明：以下推导把题图中的相对位置作为题设的一部分，即图中点 DD 位于 xx 轴上方，点 AA 位于原点 OO 的右侧且在对称轴 x=1x=1 的左侧，点 BB 位于对称轴右侧，同时题干明确给出点 CC 在点 BB 的右侧。

设抛物线为

y=ax2+bx+c,y=ax^2+bx+c,

直线为

y=kx+c.y=kx+c.

两图象均经过 yy 轴上的点 DD，故

D=(0,c).D=(0,c).

由题图可知 DD 位于 xx 轴上方，因此

c>0.c>0.

设抛物线与 xx 轴的两个交点为

A=(xA,0),B=(xB,0).A=(x_A,0),\qquad B=(x_B,0).

由图中位置有

0<xA<1<xB.0<x_A<1<x_B.

抛物线的对称轴为 x=1x=1，因此两个零点关于 x=1x=1 对称，从而

xA+xB=2.x_A+x_B=2.

又因为

OA=OD,OA=OD,

而 xA>0, c>0x_A>0,\ c>0，故

xA=c.x_A=c.

于是

xB=2−c.x_B=2-c.

结合 0<xA<10<x_A<1，得到

0<c<1.0<c<1.

下面求 a,ba,b。

对于二次方程

ax2+bx+c=0,ax^2+bx+c=0,

由韦达定理，两个根的乘积应为

xAxB=ca,x_Ax_B=\frac ca,

而不是原配套答案中写出的 xAxB=cax_Ax_B=ca。

代入 xA=c, xB=2−cx_A=c,\ x_B=2-c，得

c(2−c)=ca.c(2-c)=\frac ca.

因为 c>0c>0，可以约去 cc，从而

a=12−c>0.a=\frac1{2-c}>0.

又由对称轴

−b2a=1,-\frac b{2a}=1,

得到

b=−2a=−22−c<0.b=-2a=-\frac2{2-c}<0.

这也与题图中抛物线开口向上的形状一致。

再研究直线

y=kx+c.y=kx+c.

它与 xx 轴交于点 CC，故 CC 的横坐标为

xC=−ck.x_C=-\frac ck.

题设给出 CC 在 BB 的右侧，因此

xC>xB=2−c>0.x_C>x_B=2-c>0.

由于 c>0c>0 而 xC>0x_C>0，必有

k<0.k<0.

再由

−ck>2−c-\frac ck>2-c

且 k<0k<0，两边乘以 kk 时不等号反向，得到

−c<k(2−c).-c<k(2-c).

因为 2−c>02-c>0，故

k>−c2−c.k>-\frac c{2-c}.

因此 kk 的范围为

−c2−c<k<0.-\frac c{2-c}<k<0.

现在逐项判断。

对于 A 项，

abc=12−c⋅(−22−c)c=−2c(2−c)2<0.abc= \frac1{2-c}\cdot \left(-\frac2{2-c}\right)c = -\frac{2c}{(2-c)^2}<0.

因此 abc>0abc>0 不成立，A 错。

对于 B 项，由

b<0<cb<0<c

立即得到

3b<0<2c,3b<0<2c,

所以

3b<2c3b<2c

恒成立，B 对。

对于 C 项，

a+b=12−c−22−c=−12−c.a+b = \frac1{2-c}-\frac2{2-c} = -\frac1{2-c}.

因为 0<c<10<c<1，所以

−1<−c,-1<-c,

而 2−c>02-c>0，故

−12−c<−c2−c.-\frac1{2-c} < -\frac c{2-c}.

再结合

−c2−c<k,-\frac c{2-c}<k,

可得

a+b=−12−c<−c2−c<k.a+b = -\frac1{2-c} < -\frac c{2-c} < k.

所以

a+b≠k,a+b\ne k,

C 错。

对于 D 项，

ac+k=c2−c+k.ac+k = \frac c{2-c}+k.

由

k>−c2−c,k>-\frac c{2-c},

得

ac+k>0.ac+k>0.

另一方面，由 k<0k<0，有

ac+k<c2−c.ac+k<\frac c{2-c}.

又因为 0<c<10<c<1，所以

c<2−c,c<2-c,

即

c2−c<1.\frac c{2-c}<1.

因此实际上有更强的结论

0<ac+k<1,0<ac+k<1,

自然满足

0<ac+k≤1.0<ac+k\le 1.

故 D 对。

综上，在按照题图所表达的位置关系进行理解时，本题正确选项为

B, D.\boxed{B,\ D}.

原配套答案的错误主要有两个关键来源。首先，它将图中的点 AA 判断成“在原点左侧，即 xA<0x_A<0”，这与题图中 AA 明显位于原点右侧相矛盾；其次，它将韦达定理的根积错误写成

xAxB=ca,x_Ax_B=ca,

而正确公式应为

xAxB=ca.x_Ax_B=\frac ca.

随后原解析又转而采用 c<0c<0 的分支继续推导，而 c<0c<0 意味着 D=(0,c)D=(0,c) 位于 xx 轴下方，同样与题图不符。因此，原解析最终推出 abc>0abc>0 并选择 A 的推理链条不能成立。

关于题目本身严谨性的进一步说明

这里还存在一个需要区分的问题：上述答案 B、D 是在把图中的位置关系视为已知条件的前提下得到的。如果完全不利用图中 DD 在 xx 轴上方、AA 在原点右侧等信息，只按照题干文字，则条件并不足以唯一确定答案。

例如取

c=−2,a=14,b=−12,k=14.c=-2,\qquad a=\frac14,\qquad b=-\frac12,\qquad k=\frac14.

此时抛物线为

y=14x2−12x−2=14(x+2)(x−4),y=\frac14x^2-\frac12x-2 =\frac14(x+2)(x-4),

其两个零点可以取

A=(−2,0),B=(4,0),A=(-2,0),\qquad B=(4,0),

对称轴仍为 x=1x=1。同时

D=(0,−2),D=(0,-2),

因而

OA=OD=2.OA=OD=2.

直线

y=14x−2y=\frac14x-2

与 xx 轴交于

C=(8,0),C=(8,0),

确有 CC 在 BB 的右侧。也就是说，这组数据满足题干的文字条件，但此时

abc>0,abc>0,

A 项反而成立。

这说明：若题图的位置关系不被视为正式条件，原题本身就是条件不充分的。

因此，更规范的题目应在文字中明确补充类似条件：

点 DD 位于 xx 轴上方，点 AA 位于原点 OO 与直线 x=1x=1 之间。

在这一条件下，以上推导才无需依赖示意图即可严格得到 B、D。

最终结论是：原配套答案的推导确有实质性错误；按照题图所表示的位置关系，A 错，B、D 均正确，C 错。若原题被设置为单项选择题，则选项设置本身也存在问题；若为多项选择题，则答案应为 B,D\boxed{B,D}。

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