位运算的拓展运用

tomyyf

2026-08-04 13:14:59

发布于：江苏

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（叠甲：本文章纯手搓，无借助任何AI）
$\color{red}认识位运算$

首先，我们要了解位运算的基本符号：

& 按位与同为1才为1

| 按位或有1即为1

^ 按位异或不同为1

~ 按位取反 0变1、1变0

<< 左移各bit左移，低位补0

“>>” 右移各bit右移（负数实现相关）

(注意：这些操作均为2进制下）
$\color{red}集合视角$

若我们把位运算用在集合上，可以怎么样呢

& 交集 𝐴∩𝐵

| 并集 𝐴∪𝐵

^ 对称差 𝐴△𝐵

举一个简单的例子：

int A = 0b00001111; // {0,1,2,3}<p></p>
<p>int B = 0b00110011; // {0,1,4,5}</p>
<p>int C = A | B;       // 并集 = 0b00111111 = {0,1,2,3,4,5}</p>
int D = A & B;     // 交集 = 0b00000011 = {0,1}

$\color{red}位运算技巧$

$\color{red}奇偶判断与乘除2的幂$

int x = 5;<p></p>
<p>bool odd = x & 1; // 奇数判断，比 x % 2 快</p>
<p>int y = x << 1;// 乘 2</p>
<p>int z = x >> 1;</p>
// 整除 2（仅非负）

$\color{red}第k位的取/置/清/翻$

int k = 2, x = 0;<br>
(x >> k) & 1; // 取第 k 位<br>
x |= (1 << k); // 第 k 位置 1<br>
x &= ~(1 << k); // 第 k 位清 0<br>
x <sup>= (1 << k); // 第 k 位翻转</sup>

$\color{red}异或交换$

int a = 3, b = 7;<br>
a = b; // a = a <sup> b<br>
b </sup>= a; // b = (a <sup> b) </sup> b = a<br>
a <sup>= b; // a = a </sup> (a ^ b) = b<br>
// 结果：a=7, b=3，无需临时变量

$\color{red}消去最低位的1$

bool is_pow2 = (x & (x - 1)) == 0; // x 是 2 的幂<br>
int cnt = 0;<br>
while (x) { x &= (x - 1); cnt++; } // 数 1 的个数

$\color{red}只保留最低位1$

int lowbit(int x) { return x & (-x); }<br>
// lowbit(12) = 12 & (-12) = 4

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