排列与组合简要笔记

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cchu
出道萌新秩序白银GESP1级GESP3级GESP4级快乐小狗

2026-07-29 19:02:02

发布于：江西

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排列与组合

排列数

1.定义

从 NN 个不同的元素中任意取 m(m≤n)m(m\le n)个元素按照一定的顺序排成一排，叫做从 nn 个不同的元素中取 mm 个元素的一个排列。

表示：AnmA_n^m 或 PnmP_n^m

2.计算公式

Anm=n(n−1)(n−2)…(n−m+1)=n!(n−m)!A_n^m=n(n-1)(n-2)\dots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}

组合数

1.定义

从 nn 个元素中取出 m(m≤n)m(m\le n)个组成一组（不计较组内的各个元素的次序）叫做从 nn 个元素中取出 mm 个元素的组合。

特点：两个组合相同，只需要两个组合的元素相同，不考虑元素的先后顺序。

abc acb bac 是相同的。

表示：CnmC_n^m

2.计算公式

Cnm=AnmAmm=n!(n−m)!m!=n(n−1)(n−2)…(n−m+1)m!C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n!}{(n-m)!m!}=\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-m+1)}{m!}

3.与排列数的关系

Anm=Cnm×Amm=Cnm×m!A_n^m=C_n^m\times A_m^m=C_n^m\times m!

排列：

  1. 先从 nn 个里面选 mm 个组合；
  2. 再把 mm 个全排列；
  3. 乘法原理。

4.组合数的性质

对称性：

Cnm=Cnn−mC_n^m=C_n^{n-m}

递推式：

Cnm=Cn−1m+Cn−1m−1C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}

二项式定理：

(a+b)n=∑m=0nCnman−mbm(a+b)^n=\sum_{m=0}^nC_n^ma^{n-m}b^m

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全部评论 1

  • userId_undefined
    cchu
    出道萌新秩序白银GESP1级GESP3级GESP4级快乐小狗

    如果我写的哪里有问题可以指出，我会进行修改。

    2026-07-29 来自 江西

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