九九乘法表——1系列

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2026-07-28 12:22:59

发布于：浙江

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下面是本人整理的一份九九乘法表，非常适合小学生学习。

1×1=lim⁡x→∞∫0xe−t dt1−e−x\lim_{x \to \infty} \frac{\int_0^x e^{-t} \, dt}{1-e^{-x}}

1×2=lim⁡x→0x21−cos⁡x\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1- \cos x}

1×3=lim⁡h→0∫01+h3x2 dx−∫013x2 dxh\lim_{h \to 0} \frac{\int_0^{1+h} 3x^2 \, dx - \int_0^1 3x^2 \, dx}{h}

1×4=lim⁡n→∞4n∑k=1n−eiπ\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} \sum_{k=1}^{n} -e^{iπ}

1×5=lim⁡n→∞∑k=1n[∫k−1nkn(lim⁡m→∞∑j=1m∫j−1mjm5 dt)dx]\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n\left[\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left(\lim_{m\to\infty}\sum_{j=1}^m\int_{\frac{j-1}{m}}^{\frac{j}{m}}5 \, dt\right) dx\right]

1×6=lim⁡n→∞∑k=1n[∫k−1nkn(6n⋅n2π⋅e−n2(x−kn)2)dx]×1n\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n\left[\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}\left(6n \cdot \sqrt{\frac{n}{2\pi}} \cdot e^{-\frac{n}{2}(x - \frac{k}{n})^2}\right) dx\right] \times \frac{1}{\sqrt{n}}

1×7=lim⁡n→∞∫01[∑k=1n14ncos⁡(2πkx)+7n]dx⋅n\lim_{n \to \infty}\int_0^1\left[\sum_{k=1}^n\frac{14}{n} \cos(2\pi k x)+ \frac{7}{n}\right] dx \cdot n

1×8=lim⁡n→∞∑k=1n[∫01(8n∑j=0n(nj)xj(1−x)n−j)⋅(1Q(x)−eiπ)dx]\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n\left[\int_0^1\left(\frac{8}{n}\sum_{j=0}^n\binom{n}{j}x^j (1-x)^{n-j}\right)\cdot\left(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)-e^{iπ}\right)dx\right]

1×9=lim⁡n→∞[nπ∑k=−n2n2e−(k/n)2⋅1n]⋅[9nπ∑k=−n2n2e−(k/n)2⋅1n]\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{n}{\sqrt{\pi}} \sum_{k=-n^2}^{n^2} e^{-(k/n)^2} \cdot \frac{1}{n} \right] \cdot \left[ \frac{9n}{\sqrt{\pi}} \sum_{k=-n^2}^{n^2} e^{-(k/n)^2} \cdot \frac{1}{n} \right]

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