用概率解析生活

零叁柒

2026-06-25 15:20:11

发布于：浙江

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原文出处——小学二年级联合会

生活，我们的印象中是——普通的、朴实无华的。我们觉得数学，在日常生活中是用不到的，实则相反，数学其实渗透在生活的方方面面。这次，我们就以"概率"出发，来解析我们的生活吧！

【题目引入】 在一个不透明的盒子中有红、白球共10个，不知其具体数量。第一次拿出了一个红球，不放回，则再拿到一个红球的概率为多少？

看到这道题目，我们不妨提出疑惑——红、白球的具体数量目前未知，何以求出拿到红球的概率呢？

当理论上你不晓得如何求值或证明时，不妨先"实验检验真理"。由于实际模拟次数有上限且难以操作，这里就用程序快速模拟了一下：

$\boxed{\frac{2}{3}}$

[注：考虑到电脑算力问题，模拟次数建议小于 $10^6$ ]

而其证明其实也很简单，仅需一行即可完成——设 $K\in\{0,1,\dots,10\}$

$P(\text{第二红}|\text{首红}) = \sum_{k=1}^{10} \frac{k-1}{9} \cdot \frac{k}{\sum_{k=1}^{10}k} = \frac{1}{495}\sum_{k=1}^{10}k(k-1) = \frac{330}{495} = \frac{2}{3}$

证毕！

所以，这道题目的答案就是 $\frac{2}{3}$ 。

此时，我相信有人要问了——如果红、白球的总数是一个不确定的数（ $>0$ 且为整数），那么 $\frac{2}{3}$ 这一结果还成立吗？

这也可以简单的证明——

采用"无偏先验"，对每个可能的总数 $N$ 给任意先验权重，且设 $R\in\{0,\dots,N\}$

$P(\text{第二红}|\text{首红}) = \frac{\sum_N P(N)\frac{1}{N+1}\sum_{r=1}^{N}\frac{r}{N}\cdot\frac{r-1}{N-1}}{\sum_N P(N)\frac{1}{N+1}\sum_{r=1}^{N}\frac{r}{N}} = \frac{\sum_N P(N)\frac{1}{N+1}\cdot\frac{N+1}{3}}{\sum_N P(N)\frac{1}{N+1}\cdot\frac{N+1}{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$

证毕！

所以，这道题的普遍规律为——无论总数，在不知道具体分布时，第二次发生事件与第一次相同（双项）的概率为 $\frac{2}{3}$ ，占大多数。

而生活中也是如此，你以为这次你没中彩票，下一次中彩票的概率会变大吗？并不是！下一次你反而只有比第一次中彩票概率少 $\frac{1}{3}$ 的可能性拿到彩票了！而当你懂了数学，用概率推出了这一事实，你便不会傻傻地去认为你下一次能够"翻盘"了。举个例子，你的前桌小A今天欺负你了（若今天为第一天），那么明天有 $\frac{2}{3}$ 的可能是他还会继续欺负你，而非你想的会放过你……

那么，这个问题就结束了吗？不！

若前两次都拿出了红球，第三次拿到红球的概率为多少？第四次呢？

$\text{○ ○ ○　○ ○ ○}$

$计算中……$

终于，通过烦琐的计算，我们得出了 $\frac{3}{4}$ 与 $\frac{4}{5}$ 这两个问题的答案。让我们来找找规律？

$P(\text{第}N\text{球为红}) = \frac{N}{N+1}$

理论的证明很难，但程序是万能的，通过 C++ 的模拟很快便能发现这一规律。于是，一个新发现诞生了！

难道，我真的开辟了一个"新大陆"吗？其实不是。查阅了网络资料，我发现其实这就是我们~~小学二年级~~就学过的——贝塔-二项模型（Beta-Binomial model）。它的定义：设红球比例 $p\sim\text{Uniform}(0,1)$ ，那么观察到有 $k$ 个红球， $m$ 个白球后，后验分布为：

$P|\text{数据} \sim \text{Beta}(1+k, 1+m)$

∴下一次红球的期望概率为

$E[p|\text{数据}] = \frac{k+1}{k+m+2}$

我们可以代入一组数据举例，如果你已拿出 6 个红球，4 个白球，那

么下一次拿到红球的可能性就是：

$E[p|\text{数据}] = \frac{k+1}{k+m+2} = \frac{6+1}{6+4+2} = \frac{7}{12}$

于是，这也可以用到生活当中去了。如果你考了 7 次试，其中 3 次你及格了，那么你便可以轻松算出你下一次考试及格的概率为 $\frac{4}{9}$ ；同样的，你还能用这个去计算各种各样的事物，比如若你用贝塔-二项模型算出你下一次有 $\frac{15}{17}$ 的概率成功时，为何还犹豫呢？当你发现自己只有 $\frac{1}{5}$ 的概率不会上当受骗时，你还会走老路吗……