高精度加法

Everix

2026-06-11 20:25:52

发布于：浙江

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【模板+详解】高精度加法

嗯...

首先让我们引入高精度这个东西....

相信大家都会做A+B Problem 这道题....输出的是A+B 的值....

可你想过没有，如果 A = 5983461827658923256597314923593449492545242655621498167329758256231975822594359252779832914372582828292235591346798922923，

B = 9382872892382859234389628259232359438768953797679368296159683689865328523725925829753298653219197389235498228659659373291973652564256594，

而这时，所有的类型都无法存储A和B这两个数....而这时，高精度就要出马了...（附图关于数据类型范围....）

数据类型	定义标识符	占字节数	数值范围	数量级表示
短整型	short [int]	2 (16位)	-32768 ~ 32767	-2^15 ~ 2^15-1
整型	[long] int	4 (32位)	-2147483648 ~ 2147483647	-2^31 ~ 2^31-1
长整型	long [int]	4 (32位)	-2147483648 ~ 2147483647	-2^31 ~ 2^31-1
超长整型	long long [int]	8 (64位)	-9223372036854775808 ~ 9223372036854775807	-2^63 ~ 2^63-1
无符号整型	unsigned [int]	2 (16位)	0 ~ 65535	0 ~ 2^16-1
无符号短整型	unsigned short [int]	2 (16位)	0 ~ 65535	0 ~ 2^16-1
无符号长整型	unsigned long [int]	4 (32位)	0 ~ 4294967295	0 ~ 2^32-1
无符号超长整型	unsigned long long	8 (64位)	0 ~ 18446744073709551615	0 ~ 2^64-1

这里首先讲的是高精度的加法。下面是一个伪代码，主要表达了高精度加法的主要流程：

伪代码—流程
1. read();   // 读入两个大整数
2. calsum(); // 求和
3. print();  // 输出结果

Question 1：

这么大的数，如何进行读入？

Answer 1：

当输入的数很大时，可采用字符串方式接收。输入要符合整数的输入规则：连续输入每位数字，中间无空格。

在这里会牵扯到另一部分的知识——字符串...其实字符串还是比较常用的...
下面就简单提几方面：

Part 1：

字符串定义方式：

string s;        // 直接定义
char s[1007];    // 用一个字符数组模拟字符串，这种的灵活性与速度上有优势

不同方式定义的字符串，对应的函数也不同。如 string s; 则 len = s.length(); 而 char s[1007]; 则 len = strlen(s);

Part 2：

字符串的读入：

这里主要介绍三种方式：1. cin 2. scanf 3. gets

下面给大家演示一下它们的具体的读入方法：

1. cin：

string s1, s2;
cin >> s1 >> s2;
int lena = s1.length();
int lenb = s2.length();

cout << s1 << " " << s2 << endl;
cout << lena << " " << lenb;

2. scanf：//输入的两个字符串：可以在同一行，中间以空格隔开。也可以各占一行。

char s1[1010], s2[1010];
int main()
{
    scanf("%s%s", s1, s2); // scanf("%s%s",&s1,&s2); &可省略
    int lena = strlen(s1); // strlen()函数需要头文件cstring
    int lenb = strlen(s2);
    
    cout << s1 << " " << s2 << endl;
    cout << lena << " " << lenb;
}

3. gets：//输入的两个字符串必须各占一行

char s1[1010], s2[1010];
gets(s1);
gets(s2);
lena = strlen(s1);
lenb = strlen(s2);

注意：
scanf、cin遇空格或回车符则认为当前字符串结束
gets遇回车符则认为当前字符串结束

Question 2：

我们将读入的数作为字符串接收了进来，可是怎么进行加减乘除等数学运算呢？

Answer 2：

拆成一位一位的数字，把它们存在一个数组中，一个数组元素表示一位数字……解释：“拆”

例如：123 拆成 a[1]=3, a[2]=2, a[3]=1

详细过程：——字符串读入，数组保存（见代码）

//利用字符串函数和操作运算，将每一位数取出，存入数组中。

//假设已经利用字符串s读取数据 
lena = s.length();          //用lena存放字符串s的位数 
for(i = 1; i <= lena; i++)
    a[i] = s[lena - i] - '0';  //将数串s转换为数组a，注意：倒序存储

解释倒序保存的原因：
在平常，数字从左到右依次为从高位到低位....可这里却与日常的习惯相反。因为在存储时我们首先能确定的就是最低位，所以设它为第一位，而高位无法确定，因为在存储之前求出字符串的长度比较麻烦，所以我们用下标较大的数组存储高位，因为它的最高位无法确定....

Question 3：

两个高精度数已经分别保存在数组a和b中，下一步，应该如何求和？

Answer 3：

用到了小学所学的“竖式计算”的思想：

运算的次数为：max(lena, lenb)

程序实现：

方法一：

模拟手工计算，设置一个进位变量m，但是此方式比较麻烦：

for (int i = 1; i <= lena; i++) 
    a[i] = s1[lena - i] - 48; // 由字符转向真正意义的数字 ，并且为倒序 
for (int i = 1; i <= lenb; i++) 
    b[i] = s2[lenb - i] - 48; // 同上 
lenc = max(lena, lenb);
for (int i = 1; i <= lenc; i++)
{
    c[i] = (m + a[i] + b[i]) % 10;
    m = (m + a[i] + b[i]) / 10; // 进位 
}
if (m) { // 判断最高位是否需要进位 
    lenc++;
    c[lenc] = 1;
}

方法二：

先计算，最后处理进位，比方法一要简单：

for (int i = 1; i <= lenc; i++)
    c[i] = a[i] + b[i]; // 先计算 
for (int i = 1; i <= lenc; i++)
{
    c[i + 1] = c[i + 1] + c[i] / 10;
    c[i] = c[i] % 10; // 后处理进位 
}
if (c[lenc + 1]) lenc++; // 判断最高位是否需进位

方法三：

方法二的改进，去掉c数组：

for (int i = 1; i <= lena; i++)  
    a[i] = a[i] + b[i]; // 直接加在a数组中 
for (int i = 1; i <= lena; i++)
{
    a[i + 1] = a[i + 1] + a[i] / 10; // 进位 
    a[i] = a[i] % 10; // 保留 
}
if (a[lena + 1]) lena++; // 特判

最后的问题：——运算结果的输出：

for (i = lenc; i >= 1; i--) 
    printf("%d", c[i]);   // 输出结果
printf("\n");

// ==============================

for (i = lenc; i >= 1; i--) 
    cout << c[i];   // 输出结果
cout << endl;

好的，关于高精度的每一个板块已经说明清楚了，下面我们来看一下完整的高精度运算：

（模板============================================================

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>

using namespace std;

int a[506], b[506];
int lena, lenb;
int m;
string a1, b1;

int main(){
    cin >> a1 >> b1; // 定义的字符串读入只可以用gets和cin，不能用scanf 
    lena = a1.length();
    lenb = b1.length();
    for (int i = 0; i <= lena - 1; i++){
        a[lena - i - 1] = a1[i] - '0';
    }
    for(int i = 0; i <= lenb - 1; i++){
        b[lenb - i - 1] = b1[i] - '0';
    }
    if(lena >= lenb){
        for(int i = 0; i <= lena - 1; i++){
            int ss = a[i];
            a[i] = (b[i] + a[i] + m) % 10;
            m = (ss + b[i] + m) / 10;
        }
        if(m) a[lena] = m;
        else lena--;
        for(int i = lena; i >= 0; i--) printf("%d", a[i]);
        return 0;
    }
    else{
        for(int i = 0; i <= lenb - 1; i++){
            int ss = b[i];
            b[i] = (b[i] + a[i] + m) % 10;
            m = (ss + a[i] + m) / 10;
        }
        if(m) b[lenb] = m;
        else lenb--;
        for(int i = lenb; i >= 0; i--) printf("%d", b[i]);
        return 0;
    }
    return 0;
}