突然发现一个神秘的结论

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Srobot
时空双修者出道萌新尊贵铂金勇敢小狗素数猎手CSP-S二等奖

2026-06-06 20:39:01

发布于：广东

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如果我们定义 22 个数列 x,yx,y 满足

yi=xi+⌈ai+b⌉ (a≥0,b≥0,a+b>0)y_i=x_i+\lceil ai+b\rceil\ (a≥0,b≥0,a+b>0)

并且令 x1=1x_1=1，同时递推构造

xi=mex({0,x1,y1,x2,y2,...,xi−1,yi−1}) (i≥2)x_i=mex(\{0,x_1,y_1,x_2,y_2,...,x_{i-1},y_{i-1}\})\ (i≥2)

然后就可以注意到这么一个式子：

lim⁡i→∞xii=a2+4−a2+1\lim_{i\rightarrow\infty}\frac{x_i}{i}=\frac{\sqrt{a^2+4}-a}{2}+1

虽然我没有办法证明它，但这个我用瞪眼法看出的等式似乎没有问题，毕竟我还没有发现任何一个反例。

上式中的 xii\dfrac{x_i}{i} 在 i→∞i\rightarrow\infty 时与 bb 无关是意料之中的事。

特别地，如果令 a=1a=1，那么就有

lim⁡i→∞xii=lim⁡i→∞yixi=5+12\lim_{i\rightarrow\infty}\frac{x_i}{i}=\lim_{i\rightarrow\infty}\frac{y_i}{x_i}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}

再令 b=0b=0，构造出来的数列就长这样：

{x,y}={{1,2},{3,5},{4,7},{6,10},{8,13},{9,15},{11,18},{12,20}...}\{x,y\}=\{\{1,2\},\{3,5\},\{4,7\},\{6,10\},\{8,13\},\{9,15\},\{11,18\},\{12,20\}...\}

这个数列很特殊，我发现它可以被应用于一种类似 NimNim 游戏的博弈游戏当中。

游戏规则是这样的：有 22 堆石子和 22 位玩家，玩家依次取走若干颗石子，每次只能选择 11 堆或 22 堆不为空的石子，然后同时从这 11 堆或 22 堆石子中取走相同数量的不为 00 的石子，可以全部取完但不能不取，如果轮到某一方取但没有石子可取了，那么这位玩家就输了。

可以证明，如果记这 22 堆石子中数量较少的一堆有 mm 颗石子，数量较多的一堆有 nn 颗石子，那么如果 {m,n}\{m,n\} 存在于刚才那个特殊的 {x,y}\{x,y\} 数列中，先手必败，反之先手必胜。

上述这么多结论与思考，都是我在学校里玩游戏玩出来的，可见游戏的重要性。

嗯，所以有人能够证明我一开始提出的结论吗？

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全部评论 1

  • userId_undefined
    cjdst
    尊贵铂金CSP-S一等奖代码纠察员出题人

    猜你想搜https://www.luogu.com.cn/problem/P2252

    2026-05-30 来自 广东

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