如果我们定义 2 个数列 x,y 满足
yi=i+⌊axi+b⌋ (k≥0,b≥0,k+b>0)
并且令 x1=1,同时递推构造
xi=mex({0,x1,y1,x2,y2,...,xi−1,yi−1}) (i≥2)
然后就可以注意到这么一个式子:
i→∞limixi=2a2+4−a+1
虽然我没有办法证明它,但这个我用瞪眼法看出的等式似乎没有问题,毕竟我还没有发现任何一个反例。
上式中的 ixi 在 i→∞ 时与 b 无关是意料之中的事。
特别地,如果令 a=1,那么就有
i→∞limixi=i→∞limxiyi=25+1
再令 b=0,构造出来的数列就长这样:
{x,y}={{1,2},{3,5},{4,7},{6,10},{8,13},{9,15},{11,18},{12,20}...}
这个数列很特殊,我发现它可以被应用于一种类似 Nim 游戏的博弈游戏当中。
游戏规则是这样的:有 2 堆石子和 2 位玩家,玩家依次取走若干颗石子,每次只能选择 1 堆或 2 堆不为空的石子,然后同时从这 1 堆或 2 堆石子中取走相同数量的不为 0 的石子,可以全部取完但不能不取,如果轮到某一方取但没有石子可取了,那么这位玩家就输了。
可以证明,如果记这 2 堆石子中数量较少的一堆有 m 颗石子,数量较多的一堆有 n 颗石子,那么如果 {m,n} 存在于刚才那个特殊的 {x,y} 数列中,先手必败,反之先手必胜。
上述这么多结论与思考,都是我在学校里玩游戏玩出来的,可见游戏的重要性。
嗯,所以有人能够证明我一开始提出的结论吗?
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