【学习笔记】平方根计算教程
2026-05-12 22:33:46
发布于：浙江
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最近有些人私聊我说标准库的sqrt函数精度不够，想让我出一期教程，让精度提升至long double、__float128，……
首先，牛顿送代法都听说过吧，他的公式只需要算一阶导数，这里公式推导过程就不细讲了，直接上公式：x_new=(x^2 +n)/2x（标准公式推导出来是：x_new=x-(x^2 -n)/2x，前面的是简化过后的），如果对效率没有太大需求的话（如只是算个几十位，用来炫技等）可以直接用了。
代码示范：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma GCC optimize("Ofast", "unroll-loops", "no-stack-protector", "fast-math")
#pragma GCC target("avx2", "avx512f", "avx512vl", "fma", "bmi2", "popcnt")
#pragma GCC diagnostic ignored "-Wunused-function"
// 上面的是速度优化指令，可以删除，但速度会慢一点
typedef long double ld; // 这里选择long double，你也可以用其他的
ld sqrt(ld n,ld x){ // n代表要开根号的数，x代表你选的初始值(x不能为非正整数)
ld eqs=1e-19; // eqs表示最大可以接受的误差，如有需求可调整
while(abs(x*x-n))x=(x*x+n)/(2*x); // 公式计算
return x; // 最后返回x
}
int main(){
ld n;
cin>>n;
printf("%.20Lf\n", sqrt(n,1)); // 这里x初始值选了1，初始值、输出精度如有需求可调整（养成换行好习惯）
return 0;
}
如果你追求极致速度的话，我这里也是有一个四阶收敛的超级公式，具体公式如下：
x=x-(x*x-n)/(x+x*n/(x*x+n)+(x*x+n)/(4*x))
代码示范：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma GCC optimize("Ofast", "unroll-loops", "no-stack-protector", "fast-math")
#pragma GCC target("avx2", "avx512f", "avx512vl", "fma", "bmi2", "popcnt")
#pragma GCC diagnostic ignored "-Wunused-function"
// 上面的是速度优化指令，可以删除，但速度会慢一点
typedef long double ld; // 这里选择long double，你也可以用其他的
ld sqrt(ld n,ld x){ // n代表要开根号的数，x代表你选的初始值(x不能为非正整数)
ld eqs=1e-19; // eqs表示最大可以接受的误差，如有需求可调整
while(abs(x*x-n))x=x-(x*x-n)/(x+x*n/(x*x+n)+(x*x+n)/(4*x)); // 公式计算
return x; // 最后返回x
}
int main(){
ld n;
cin>>n;
printf("%.20Lf\n", sqrt(n,1)); // 这里x初始值选了1，初始值、输出精度如有需求可调整（养成换行好习惯）
return 0;
}
最后顺便提一嘴：__float128等扩展类型不能用普通cout/cin、printf/scanf 输出/输入，你得自己定义输出输入方式
如有更快的收敛公式，也欢迎大家留言讨论！
课后作业：用我讲到的任意方法心算/笔算出 根号10的 前10位小数。
下课！
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