平均数、中位数、众数、方差

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2026-04-26 10:26:29

发布于：浙江

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一、基本概念

1. 平均数（Mean）

定义：一组数据的总和除以数据的个数
计算公式： $\bar{x} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i}{n}$
加权平均数： $\bar{x}_w = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} w_i}$
性质：
- $\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$
- 最小二乘性质： $\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - c)^2$ 在 $c = \bar{x}$ 时取最小值

2. 中位数（Median）

定义：将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的值
计算公式：
- 当 $n$ 为奇数时： $M = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}$
- 当 $n$ 为偶数时： $M = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2}$
分组数据中位数公式： $M = L + \frac{\frac{n}{2} - F}{f} \times c$ $M = L + \frac{\frac{n}{2} - F}{f} \times c$
- $L$ ：中位数所在组的下限
- $n$ ：总频数
- $F$ ：中位数所在组前一组的累计频数
- $f$ ：中位数所在组的频数
- $c$ ：组距

3. 众数（Mode）

定义：数据中出现次数最多的数值
分组数据众数公式： $M_o = L + \frac{\Delta_1}{\Delta_1 + \Delta_2} \times c$ $M_{o} = L + \frac{Δ _{1}}{Δ _{1} + Δ _{2}} \times c$
- $L$ ：众数所在组的下限
- $\Delta_1$ ：众数所在组频数与前一组的频数差
- $\Delta_2$ ：众数所在组频数与后一组的频数差
- $c$ ：组距

二、方差和标准差

1. 方差（Variance）

定义：各数据与平均数之差的平方的平均数
总体方差： $\sigma^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N}$
样本方差： $s^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
计算公式推导：
$\begin{aligned} s^2 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \\ &= \frac{1}{n-1} \left[ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2 \right] \\ &= \frac{1}{n-1} \left[ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2 \right] \end{aligned}$

2. 标准差（Standard Deviation）

定义：方差的算术平方根
总体标准差： $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
样本标准差： $s = \sqrt{s^2}$

3. 方差的性质

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$
$\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$
若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

三、方差定理

定理1：方差分解定理

对于任意常数 $c$ ，有：

$\sum_{i=1}^{n} (x_i - c)^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 + n(\bar{x} - c)^2$

证明：

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} (x_i - c)^2 &= \sum_{i=1}^{n} [(x_i - \bar{x}) + (\bar{x} - c)]^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 + 2(\bar{x} - c)\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) + n(\bar{x} - c)^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 + n(\bar{x} - c)^2 \quad (\text{因为}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = 0) \end{aligned}$

定理2：切比雪夫不等式

对于任意随机变量 $X$ 具有有限期望 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ ，对任意 $k > 0$ ，有：

$P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

或等价地：

$P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$

定理3：分组数据方差计算公式

对于分组数据：

$s^2 = \frac{1}{n-1} \left[ \sum f_i m_i^2 - \frac{(\sum f_i m_i)^2}{n} \right]$

其中 $f_i$ 是频数， $m_i$ 是组中值， $n = \sum f_i$ 。

四、三者的比较

特征	平均数	中位数	众数	方差/标准差
计算依据	所有数据	位置居中	出现频率	离散程度
对异常值	敏感	不敏感	不敏感	敏感
数据要求	定量数据	定量或有序	各类数据	定量数据
计算公式	$\frac{\sum x_i}{n}$	排序找中间	统计频数	$\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1}$
单位	与原数据相同	与原数据相同	与原数据相同	平方单位/原单位

五、应用例题

例题1：基本计算

数据：{12, 15, 18, 20, 20, 25, 30, 35, 40}

计算：

平均数： $\bar{x} = \frac{12+15+18+20+20+25+30+35+40}{9} = \frac{215}{9} \approx 23.89$
中位数：排序后第5个数是20
众数：20（出现2次）
样本方差：
$\begin{aligned} s^2 &= \frac{1}{8} \left[ \sum x_i^2 - 9\bar{x}^2 \right] \\ &= \frac{1}{8} \left[ (144+225+324+400+400+625+900+1225+1600) - 9 \times 570.9 \right] \\ &= \frac{1}{8} \left[ 5843 - 5138.1 \right] = \frac{704.9}{8} = 88.11 \end{aligned}$
标准差： $s = \sqrt{88.11} \approx 9.39$

例题2：方差定理应用

数据：{4, 5, 6, 7, 8}，验证方差分解定理，取 $c=5$

计算：

$\bar{x} = 6$
$\sum (x_i - 5)^2 = 1+0+1+4+9 = 15$
$\sum (x_i - 6)^2 = 4+1+0+1+4 = 10$
$n(\bar{x} - 5)^2 = 5 \times 1 = 5$
验证： $15 = 10 + 5$ ，成立

例题3：分组数据计算

数据：

成绩区间	人数
60-70	5
70-80	12
80-90	18
90-100	5

计算：

平均数： $\bar{x} = \frac{65\times5 + 75\times12 + 85\times18 + 95\times5}{40} = \frac{325+900+1530+475}{40} = \frac{3230}{40} = 80.75$
中位数： $n=40$ ，中位数位置=20.5，在80-90组
$M = 80 + \frac{20-17}{18} \times 10 = 80 + 1.67 = 81.67$
众数：在80-90组（频数最大）
$M_o = 80 + \frac{18-12}{(18-12)+(18-5)} \times 10 = 80 + \frac{6}{6+13} \times 10 = 80 + 3.16 = 83.16$
样本方差：
$\begin{aligned} s^2 &= \frac{1}{39} \left[ 5\times65^2 + 12\times75^2 + 18\times85^2 + 5\times95^2 - 40\times80.75^2 \right] \\ &= \frac{1}{39} \left[ 21125+67500+130050+45125 - 40\times6520.56 \right] \\ &= \frac{1}{39} \left[ 263800 - 260822.4 \right] = \frac{2977.6}{39} = 76.35 \end{aligned}$
标准差： $s = \sqrt{76.35} \approx 8.74$

六、偏度与峰度

1. 偏度系数

定义：衡量数据分布不对称程度的统计量
计算公式： $g_1 = \frac{\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^3}{s^3}$
解释：
- $g_1 = 0$ ：对称分布
- $g_1 > 0$ ：右偏（正偏），平均数 > 中位数 > 众数
- $g_1 < 0$ ：左偏（负偏），平均数 < 中位数 < 众数

2. 峰度系数

定义：衡量数据分布尖峭程度的统计量
计算公式： $g_2 = \frac{\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^4}{s^4} - 3$
解释：
- $g_2 = 0$ ：正态分布的峰度
- $g_2 > 0$ ：尖峰分布
- $g_2 < 0$ ：平峰分布

七、记忆要点

平均数：对所有数据敏感，适合对称分布
中位数：对极端值稳健，适合偏态分布
众数：反映最常见情况，适合分类数据
方差：衡量离散程度，值越大越分散
标准差：方差的平方根，与原数据同单位
三者的关系：在对称分布中，平均数=中位数=众数

八、重要公式总结

平均数： $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$
方差： $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}$
标准差： $s = \sqrt{s^2}$
方差分解定理： $\sum (x_i - c)^2 = \sum (x_i - \bar{x})^2 + n(\bar{x} - c)^2$
切比雪夫不等式： $P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$