平均数、中位数、众数、方差

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秩序白银快乐小狗

2026-04-26 10:26:29

发布于：浙江

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一、基本概念

1. 平均数（Mean）

  • 定义：一组数据的总和除以数据的个数
  • 计算公式：xˉ=∑i=1nxin\bar{x} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i}{n}
  • 加权平均数：xˉw=∑i=1nwixi∑i=1nwi\bar{x}_w = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} w_i}
  • 性质：
    • ∑i=1n(xi−xˉ)=0\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0
    • 最小二乘性质：∑i=1n(xi−c)2\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - c)^2 在 c=xˉc = \bar{x} 时取最小值

2. 中位数（Median）

  • 定义：将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的值
  • 计算公式：
    • 当 nn 为奇数时：M=x(n+12)M = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}
    • 当 nn 为偶数时：M=x(n2)+x(n2+1)2M = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2}
  • 分组数据中位数公式：M=L+n2−Ff×cM = L + \frac{\frac{n}{2} - F}{f} \times c
    • LL：中位数所在组的下限
    • nn：总频数
    • FF：中位数所在组前一组的累计频数
    • ff：中位数所在组的频数
    • cc：组距

3. 众数（Mode）

  • 定义：数据中出现次数最多的数值
  • 分组数据众数公式：Mo=L+Δ1Δ1+Δ2×cM_o = L + \frac{\Delta_1}{\Delta_1 + \Delta_2} \times c
    • LL：众数所在组的下限
    • Δ1\Delta_1：众数所在组频数与前一组的频数差
    • Δ2\Delta_2：众数所在组频数与后一组的频数差
    • cc：组距

二、方差和标准差

1. 方差（Variance）

  • 定义：各数据与平均数之差的平方的平均数
  • 总体方差：σ2=∑i=1N(xi−μ)2N\sigma^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N}
  • 样本方差：s2=∑i=1n(xi−xˉ)2n−1s^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}
  • 计算公式推导：

    s2=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2=1n−1[∑i=1nxi2−nxˉ2]=1n−1[∑i=1nxi2−1n(∑i=1nxi)2]\begin{aligned} s^2 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \\ &= \frac{1}{n-1} \left[ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2 \right] \\ &= \frac{1}{n-1} \left[ \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2 \right] \end{aligned}

2. 标准差（Standard Deviation）

  • 定义：方差的算术平方根
  • 总体标准差：σ=σ2\sigma = \sqrt{\sigma^2}
  • 样本标准差：s=s2s = \sqrt{s^2}

3. 方差的性质

  1. Var(aX+b)=a2Var(X)\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)
  2. Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)
  3. 若 XX 与 YY 独立，则 Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)

三、方差定理

定理1：方差分解定理

对于任意常数 cc，有：

∑i=1n(xi−c)2=∑i=1n(xi−xˉ)2+n(xˉ−c)2\sum_{i=1}^{n} (x_i - c)^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 + n(\bar{x} - c)^2

证明：

∑i=1n(xi−c)2=∑i=1n[(xi−xˉ)+(xˉ−c)]2=∑i=1n(xi−xˉ)2+2(xˉ−c)∑i=1n(xi−xˉ)+n(xˉ−c)2=∑i=1n(xi−xˉ)2+n(xˉ−c)2(因为∑i=1n(xi−xˉ)=0)\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} (x_i - c)^2 &= \sum_{i=1}^{n} [(x_i - \bar{x}) + (\bar{x} - c)]^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 + 2(\bar{x} - c)\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) + n(\bar{x} - c)^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 + n(\bar{x} - c)^2 \quad (\text{因为}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = 0) \end{aligned}

定理2：切比雪夫不等式

对于任意随机变量 XX 具有有限期望 μ\mu 和方差 σ2\sigma^2，对任意 k>0k > 0，有：

P(∣X−μ∣≥kσ)≤1k2P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}

或等价地：

P(∣X−μ∣≥ε)≤σ2ε2P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}

定理3：分组数据方差计算公式

对于分组数据：

s2=1n−1[∑fimi2−(∑fimi)2n]s^2 = \frac{1}{n-1} \left[ \sum f_i m_i^2 - \frac{(\sum f_i m_i)^2}{n} \right]

其中 fif_i 是频数，mim_i 是组中值，n=∑fin = \sum f_i。

四、三者的比较

特征 平均数 中位数 众数 方差/标准差
计算依据 所有数据 位置居中 出现频率 离散程度
对异常值 敏感 不敏感 不敏感 敏感
数据要求 定量数据 定量或有序 各类数据 定量数据
计算公式 ∑xin\frac{\sum x_i}{n} 排序找中间 统计频数 ∑(xi−xˉ)2n−1\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1}
单位 与原数据相同 与原数据相同 与原数据相同 平方单位/原单位

五、应用例题

例题1：基本计算

数据：{12, 15, 18, 20, 20, 25, 30, 35, 40}

计算：

  1. 平均数：xˉ=12+15+18+20+20+25+30+35+409=2159≈23.89\bar{x} = \frac{12+15+18+20+20+25+30+35+40}{9} = \frac{215}{9} \approx 23.89
  2. 中位数：排序后第5个数是20
  3. 众数：20（出现2次）
  4. 样本方差：

    s2=18[∑xi2−9xˉ2]=18[(144+225+324+400+400+625+900+1225+1600)−9×570.9]=18[5843−5138.1]=704.98=88.11\begin{aligned} s^2 &= \frac{1}{8} \left[ \sum x_i^2 - 9\bar{x}^2 \right] \\ &= \frac{1}{8} \left[ (144+225+324+400+400+625+900+1225+1600) - 9 \times 570.9 \right] \\ &= \frac{1}{8} \left[ 5843 - 5138.1 \right] = \frac{704.9}{8} = 88.11 \end{aligned}

  5. 标准差：s=88.11≈9.39s = \sqrt{88.11} \approx 9.39

例题2：方差定理应用

数据：{4, 5, 6, 7, 8}，验证方差分解定理，取 c=5c=5

计算：

  • xˉ=6\bar{x} = 6
  • ∑(xi−5)2=1+0+1+4+9=15\sum (x_i - 5)^2 = 1+0+1+4+9 = 15
  • ∑(xi−6)2=4+1+0+1+4=10\sum (x_i - 6)^2 = 4+1+0+1+4 = 10
  • n(xˉ−5)2=5×1=5n(\bar{x} - 5)^2 = 5 \times 1 = 5
  • 验证：15=10+515 = 10 + 5，成立

例题3：分组数据计算

数据：

成绩区间 人数
60-70 5
70-80 12
80-90 18
90-100 5

计算：

  1. 平均数：xˉ=65×5+75×12+85×18+95×540=325+900+1530+47540=323040=80.75\bar{x} = \frac{65\times5 + 75\times12 + 85\times18 + 95\times5}{40} = \frac{325+900+1530+475}{40} = \frac{3230}{40} = 80.75
  2. 中位数：n=40n=40，中位数位置=20.5，在80-90组
    M=80+20−1718×10=80+1.67=81.67M = 80 + \frac{20-17}{18} \times 10 = 80 + 1.67 = 81.67
  3. 众数：在80-90组（频数最大）
    Mo=80+18−12(18−12)+(18−5)×10=80+66+13×10=80+3.16=83.16M_o = 80 + \frac{18-12}{(18-12)+(18-5)} \times 10 = 80 + \frac{6}{6+13} \times 10 = 80 + 3.16 = 83.16
  4. 样本方差：

    s2=139[5×652+12×752+18×852+5×952−40×80.752]=139[21125+67500+130050+45125−40×6520.56]=139[263800−260822.4]=2977.639=76.35\begin{aligned} s^2 &= \frac{1}{39} \left[ 5\times65^2 + 12\times75^2 + 18\times85^2 + 5\times95^2 - 40\times80.75^2 \right] \\ &= \frac{1}{39} \left[ 21125+67500+130050+45125 - 40\times6520.56 \right] \\ &= \frac{1}{39} \left[ 263800 - 260822.4 \right] = \frac{2977.6}{39} = 76.35 \end{aligned}

  5. 标准差：s=76.35≈8.74s = \sqrt{76.35} \approx 8.74

六、偏度与峰度

1. 偏度系数

  • 定义：衡量数据分布不对称程度的统计量
  • 计算公式：g1=1n∑(xi−xˉ)3s3g_1 = \frac{\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^3}{s^3}
  • 解释：
    • g1=0g_1 = 0：对称分布
    • g1>0g_1 > 0：右偏（正偏），平均数 > 中位数 > 众数
    • g1<0g_1 < 0：左偏（负偏），平均数 < 中位数 < 众数

2. 峰度系数

  • 定义：衡量数据分布尖峭程度的统计量
  • 计算公式：g2=1n∑(xi−xˉ)4s4−3g_2 = \frac{\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^4}{s^4} - 3
  • 解释：
    • g2=0g_2 = 0：正态分布的峰度
    • g2>0g_2 > 0：尖峰分布
    • g2<0g_2 < 0：平峰分布

七、记忆要点

  1. 平均数：对所有数据敏感，适合对称分布
  2. 中位数：对极端值稳健，适合偏态分布
  3. 众数：反映最常见情况，适合分类数据
  4. 方差：衡量离散程度，值越大越分散
  5. 标准差：方差的平方根，与原数据同单位
  6. 三者的关系：在对称分布中，平均数=中位数=众数

八、重要公式总结

  1. 平均数：xˉ=∑xin\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
  2. 方差：s2=∑(xi−xˉ)2n−1=∑xi2−nxˉ2n−1s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}
  3. 标准差：s=s2s = \sqrt{s^2}
  4. 方差分解定理：∑(xi−c)2=∑(xi−xˉ)2+n(xˉ−c)2\sum (x_i - c)^2 = \sum (x_i - \bar{x})^2 + n(\bar{x} - c)^2
  5. 切比雪夫不等式：P(∣X−μ∣≥kσ)≤1k2P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}
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