如何解一元二次方程

云吞服务器

2025-09-21 20:47:15

发布于：江苏

6阅读

0回复

0点赞

做A7125.[CSP-J 2023] 一元二次方程时，如果没学过解一元二次方程，会非常困难，所以该说的还是要说一下的。

回顾一元一次方程

所有的一元一次方程都可以化简为 $ax+b=0$ 的形式，此时可以这样去解：

$ax+b=0\\ ax=-b\\ x=(-b)\div a\\ x=-\displaystyle \frac{b}{a}$

比如，一元一次方程 $1+5x-7x+2x=9$ 可以这样去解：

$1+5x-7x+3x=9\\ x+(-8)=0\\ x=8$

当然，也有可能有无解的情况，那就是 $a=0,b\ne0$ 的情况，比如方程 $5x-5x+1=0$ ：

$5x-5x+1=0\\ 1=0$

特殊的，如果 $a=0,b=0$ ，那么这个方程有无限个解。

一元二次方程

注意：一元二次方程就不考虑无限个解的情况了，其实当 $a=0,b=0,c=0$ 时，就有无限个解，但就不深究了。

所有的一元二次方程都可以化简为 $ax^2+bx+c=0$ 的形式，此时可以这样去解：

求根公式

定义实数 $\Delta=b^2-4\times a\times c$ ，分为三种情况：

$[1]$ 当 $\Delta>0$ 时，该方程有 $2$ 个实数解

$[2]$ 当 $\Delta=0$ 时，该方程有 $1$ 个实数解

$[3]$ 当 $\Delta<0$ 时，该方程有 $2$ 个虚数解

求根：

$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\times a}\\ x1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\times a},x2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\times a}$

质因数分解

把 $ax^2$ 看作方程的第一项， $c$ 看作方程的第三项，将他们分解为 $x\times y$ 的形式，比如 $4x^2$ 可以分解为 $4x\times x$ ，也可以分解为 $2x\times 2x$ 。这样，就形成了一个四宫格：

$\begin{bmatrix} x1 & x2 \\ y1 & y2 \end{bmatrix}$

如果满足 $x1\times y2+y1\times x2$ 的值（即交叉相乘的和）为方程的第二项，可以重新列式 $(x1+x2)\times(y1+y2)=0$ ，此时要么 $x1+x2=0$ ，要么 $y1+y2=0$ ，就可以轻松的求出 $x$ 。

实战

方程 $6x^2-8x-8=0$ 中， $x$ 的解为多少：

求根公式

$\Delta=(-8)^2-4\times6\times(-8)=64+192=256$
$x1=\displaystyle\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2\times a}=\displaystyle\frac{8+16}{12}=2$
$x2=\displaystyle\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\times a}=\displaystyle\frac{8-16}{12}=-\frac{2}{3}$

质因数分解

$6x^2$ 拆分为 $6x\times x$ ， $-8$ 拆分为 $4\times(-2)$ ，宫格为：

$\begin{bmatrix} 6x & 4 \\ x & -2 \end{bmatrix}$

满足 $6x\times(-2)+4x=-8x$ ，列方程 $(6x+4)\times(x-2)=0$ ，对于方程 $6x+4=0$ ， $x=-\displaystyle\frac{2}{3}$ ，对于方程 $x-2=0$ ， $x=2$ 。

点我

有帮助，赞一个

去预览

0/2000

这里空空如也

注意：一元二次方程就不考虑无限个解的情况了，其实当 a=0,b=0,c=0a=0,b=0,c=0a=0,b=0,c=0 时，就有无限个解，但就不深究了。

热门讨论

注意：一元二次方程就不考虑无限个解的情况了，其实当 $a=0,b=0,c=0$ 时，就有无限个解，但就不深究了。