关于我题解中T3结论的证明

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出道萌新荣耀黄金时空双修者快乐小狗GESP6级CSP-J一等奖

2025-09-16 06:12:35

发布于：上海

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在我的题解中，我提到了“多个点的LCA=其中DFS序最大的点和其中DFS序最小的点的LCA”这一结论，但未给出证明

我翻遍全网也没找到证明，只能用Deepsleep了

以下内容摘自Deepseek V3

1. 定义和记号

设点集 S=v1,v2,…,vkS = {v_1, v_2, \dots, v_k}。

记 uminu_{\text{min}} 为 DFS 序最小的点，umaxu_{\text{max}} 为 DFS 序最大的点。

记 L=LCA(S)L = \text{LCA}(S) 为点集 SS 的最近公共祖先。

记 L′=LCA(umin,umax)L' = \text{LCA}(u_{\text{min}}, u_{\text{max}}) 为 DFS 序最小和最大的点的 LCA。

目标：证明 L=L′L = L'。

2. 关键观察

DFS 序的性质：在 DFS 遍历树时，对于任意两点 uu 和 vv，它们的 LCA 的 DFS 序一定介于 uu 和 vv 的 DFS 序之间（实际上，LCA 是 DFS 序区间内的最小公共祖先）。

更一般地，对于点集 SS，其 LCA LL 的 DFS 序一定小于等于所有点的 DFS 序（因为 LL 是祖先），并且 LL 是深度最大的公共祖先。

3. 证明 L′L' 是 SS 的公共祖先

L′=LCA(umin,umax)L' = \text{LCA}(u_{\text{min}}, u_{\text{max}}) 是 uminu_{\text{min}} 和 umaxu_{\text{max}} 的公共祖先。

由于 DFS 序的连续性，所有 DFS 序介于 uminu_{\text{min}} 和 umaxu_{\text{max}} 之间的点都在 L′L' 的子树中。

因此，L′L' 是 SS 中所有点的公共祖先。

4. 证明 L′L' 是深度最大的（最近的）

假设存在另一个公共祖先 L′′L''，比 L′L' 更深（即 L′′L'' 是 L′L' 的后代）。

那么 L′′L'' 也必须是 uminu_{\text{min}} 和 umaxu_{\text{max}} 的公共祖先（因为 S⊆子树(L′′)S \subseteq \text{子树}(L'')）。

但这与 L′=LCA(umin,umax)L' = \text{LCA}(u_{\text{min}}, u_{\text{max}}) 是深度最大的矛盾（因为 L′′L'' 更深且是公共祖先）。

因此，不存在比 L′L' 更深的公共祖先，所以 L′L' 就是点集 SS 的 LCA。

5. 结论

因此，多个点的 LCA 等于其中 DFS 序最大和最小的点的 LCA。

6. 直观理解

DFS 序最小和最大的点确定了点集 SS 在 DFS 序上的“范围”。

它们的 LCA 正好是覆盖整个范围的最小子树根节点，因此也就是所有点的 LCA。

7. 应用

该性质在处理树上的多个点查询时非常有用，因为它将多个点的 LCA 问题简化为两个点的 LCA 问题。

通常可以用 RMQ（区间最值查询）等技术高效求解。

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