#创作计划# 三角函数详解

Srobot

2025-09-10 18:23:20

发布于：广东

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本帖用到的基础知识较多，请在拥有一定数学基础后学习。

1、三角函数的定义

在平面直角坐标系中，若点 $P$ 的坐标为 $(1,0)$ ，将 $P$ 点绕原点逆时针旋转 $\theta$ 度，记当前点 $P$ 的横坐标为 $P_x$ ，纵坐标为 $P_y$ ，则有：

$sin(\theta)=P_y\\ cos(\theta)=P_x\\ tan(\theta)=\frac{P_y}{P_x}=\frac{sin(\theta)}{cos(\theta)},P_x≠0$

此外，还有三角函数的反函数：

$sin^{-1}(P_y)=cos^{-1}(P_x)=tan^{-1}(\frac{P_y}{P_x})=\theta$

三角函数的应用非常广泛，与我们的生活息息相关。

2、角度制与弧度制

生活中我们衡量一个角的大小，最常用角度制，一圈就是 $360$ 度。但在三角函数中，我们一般使用弧度制。
$1$ 弧度指的是半径等于其弧长的扇形的圆心角的大小，可简写为 $1\ rad$ 。
弧度与角度是可以相互转换的：

$1\ rad=\frac{180}{\pi}^\circ\\ \pi\ rad=180^\circ\\ 2\pi\ rad=360^\circ$

使用弧度制可以让关于三角函数的计算更加方便哦。

3、三角函数的应用

在直角三角形中，三角函数的用处可多啦，已知一边一角（直角不算）便可直接求出另外两边。
若该直角三角形两条直角边分别长 $a$ 和 $b$ ，对角度数分别为 $\alpha$ 和 $\beta$ ，斜边长 $c$ ，则有：

$a=sin(\alpha)c=cos(\beta)c=tan(\alpha)b=\frac{b}{tan(\beta)}\\ b=sin(\beta)c=cos(\alpha)c=tan(\beta)a=\frac{a}{tan(\alpha)}\\ c=\frac{a}{sin(\alpha)}=\frac{b}{sin(\beta)}=\frac{a}{cos(\beta)}=\frac{b}{cos(\alpha)}$

三角函数还有一些基本的性质：

$sin^2\theta+cos^2\theta=1\\ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}\Rightarrow sin(\alpha)=cos(\beta)\\ sin(-\theta)=-sin(\theta),cos(-\theta)=cos(\theta)$

三角函数是周期函数：

函数	定义域	值域	周期
$y=sin(x)$	$R$	$[-1,1]$	$2k\pi(k\in N^*)$
$y=cos(x)$	$R$	$[-1,1]$	$2k\pi(k\in N^*)$
$y=tan(x)$	$\{x\|x≠\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\}$	$R$	$k\pi(k\in N^*)$

4、三角恒等变换

这里列举一些三角函数的公式，方便大家计算。

两角和与差公式

$sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)\\ sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)\\ cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)\\ cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)\\ tan(\alpha+\beta)=\frac{tan(\alpha)+tan(\beta)}{1-tan(\alpha)tan(\beta)}\\ tan(\alpha-\beta)=\frac{tan(\alpha)-tan(\beta)}{1+tan(\alpha)tan(\beta)}$

倍角与半角公式

$sin(2\alpha)=2\ sin(\alpha)cos(\alpha)\\ cos(2\alpha)=cos^2\alpha-sin^2\alpha\\ tan(2\alpha)=\frac{2\ tan(\alpha)}{1-tan^2{\alpha}}\\ sin(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{2}}\\ cos(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1+cos(\alpha)}{2}}\\ tan(\frac{\alpha}{2})=\frac{sin(\alpha)}{1+cos(\alpha)}$

辅助角公式

$a\ sin(x)+b\ cos(x)=\sqrt{a^2+b^2}\ sin(x+\phi),ab≠0\\ 其中\ \phi\ 满足：sin(\phi)=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},cos(\phi)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

积化和差公式

$sin(\alpha)cos(\beta)=\frac{sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}{2}\\ cos(\alpha)sin(\beta)=\frac{sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)}{2}\\ cos(\alpha)cos(\beta)=\frac{cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}{2}\\ sin(\alpha)sin(\beta)=\frac{cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)}{2}$

和差化积公式

$sin(\alpha)+sin(\beta)=2\ sin(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\\ sin(\alpha)-sin(\beta)=2\ cos(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\\ cos(\alpha)+cos(\beta)=2\ cos(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\\ cos(\alpha)-cos(\beta)=-2\ sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$