#创作计划# 证明无理数

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Srobot

倔强青铜时间刺客空间掌握者时空双修者枚举·枚举小能手模拟·模拟练习生

2025-08-25 13:31:04

发布于：广东

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众所周知，不是完全平方数的正整数开方一定是无理数。

用数学语言说就是

n∈N∗,∀x∈N∗,x2≠n⇒n∉Qn\in N^*,\forall x\in N^*,x^2≠n\Rightarrow \sqrt{n}\notin Q

接下来我们将严谨地证明这一点——

首先，我们把这个不是完全平方数的正整数记为 nn，
接下来将使用反证法，即证明 n\sqrt{n} 不可能是有理数。
我们都知道，任意一个有理数都可以用一个分数表示，
则可令

n=ab\sqrt{n}=\frac{a}{b}

两边同时平方得

n=a2b2n=\frac{a^2}{b^2}

再同时乘 b2b^2 得

nb2=a2nb^2=a^2

此时只需证明不存在这样的 33 个正整数满足该等式。
即证明

∀n∈N∗,∀a∈N∗,∀b∈N∗,nb2≠a2\forall n\in N^*,\forall a\in N^*,\forall b\in N^*,nb^2≠a^2

接下来我们将引入一个新的概念使上式成立。

容易看出，任意一个大于 11 正整数都可以分解成若干质数的乘积。
若该正整数为 xx，
记这些质数为 pi,1≤i≤+∞p_i,1≤i≤+∞
对于质数 pip_i，记它的出现次数为 xix_i，
则上述结论可写成如下形式：

x=∏i=1+∞pixix=\prod_{i=1}^{+∞}p_i^{x_i}

同理，n,a,bn,a,b 也可以用上式表示，
把 nb2=a2nb^2=a^2 重写得

∏i=1+∞pini∏i=1+∞(pibi)2=∏i=1+∞(piai)2\prod_{i=1}^{+∞}p_i^{n_i}\prod_{i=1}^{+∞}(p_i^{b_i})^2=\prod_{i=1}^{+∞}(p_i^{a_i})^2

整理得

∏i=1+∞pini+2bi=∏i=1+∞pi2ai\prod_{i=1}^{+∞}p_i^{n_i+2b_i}=\prod_{i=1}^{+∞}p_i^{2a_i}

因为任意 pip_i 都是质数，故可将上式写成

∀i∈N∗,ni+2bi=2ai\forall i\in N^*,n_i+2b_i=2a_i

根据最开始的假设，nn 不是完全平方数，所以一定存在一个 nin_i 是奇数，
可写成

∃i∈N∗,ni2∉Z\exists i\in N^*,\frac{n_i}{2}\notin Z

但 2ai2a_i 和 2bi2b_i 都一定是偶数，当 nin_i 为奇数时，我们会发现下式

ni+2bi=2ain_i+2b_i=2a_i

将不成立。

故当 nn 不为完全平方数时，不存在这样这样的 33 个正整数，使得

n=ab\sqrt{n}=\frac{a}{b}

至此我们完成了反证，原命题成立。

本人水平有限，如有疑问，欢迎指正！

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