#创作计划#将军饮马
2025-08-13 21:45:27
发布于：广东
最近（貌似之前也有只是不多）看见有人开始写数学帖，然而太多人写代数了，so我写几何。其实我寒假就学了将军饮马，但是我菜（还需要消化），现在没那么迷茫了所以就写（这篇帖子）。
在接下来的图文中，每两个知识点间有分界线，较浅的蓝色为辅助线，较深的蓝色线、红色点（如果有）、深蓝色点（如果没有红点）为答案。虽然我已经画得尽可能直观了（我用电脑上的3D绘图画的），但还是可能有一些阅读困难，敬请谅解。
有疑问的欢迎提出，我会尽快（学校要住宿）回复！如有疏漏之处，请在评论区指出！
将军饮马是一类求最短路线的题目，解法运用了轴对称变换的思想，以及公理“两点之间线段最短”和垂线的性质“垂线段最短”。百度中也提到了将军饮马的部分拓展运用（我抄的）：
- 物理中的“光线总是沿着最近的路程传播”
- 圆锥曲线、立体几何……
不过我们今天先不谈这么多（还是因为我菜），从最简单的开始：
假设有一位将军，他有一匹马（他和马同时位于点）。众所周知马要喝水，因此他们要经过一条小河（直线）来到位于河对岸点的军营。将军急着赶回军营，所以需要找到由点到点的最短路线及过河点，此时图大致如下：
可以很快得出解法：连接与直线交于点，由两点之间线段最短就能证明。
觉得很简单，想要自己做了？那么好，现在将军滥用职权，把军营给搬到了将军那边（即与处于同侧）。于是，图就变成了这样：
你以为现在就连接不了才怪，这时候我们先使（其实对称也可以，但是这幅图的高度不够用于表示）关于动点对称（在这个例子中，你也可以认为是关于对称）于。然后，做法就和上一题没区别了。
在讲延伸的题型前，我们先总结一下规律：定点关于转折点（或动点）所在直线对称。一定要记，不然很容易晕（尤其是到后面点、边多了的时候）！
继续讲下一个内容，也就是三角形/四边形的周长最小问题。
如图，将军现在在军营（点）,与分别为所在边上动点。他要先在点饮马，然后在点洗脚，最后回军营（数学班上老师编的，呵）。求和的位置，并画出最短路线。
和前面的题目一样，将关于点、点对称，得及。此时链接和即可，点、点分别位于与所在直线的交点。
同理，对四边形的周长最小值也是如此。关于对称至，关于对称至，连即可。
题外话：你就记住将军先去点饮马，然后在点洗脚，又去了点看朋友，再回到点的营地（老师编故事只编到了这里）。
下一个，多条线段和最小问题
（自己想出来的）由于将军实在“贡献”了太多难题（而且还玩忽职守、破坏环境），我们决定将死他（死缓114514年）。现在他正在墙边劳改，进行折返跑惩罚，具体情况如下：
将军从出发，到和分别转折一次，最后到达。将军都死到临头了，还想偷懒，所以请画出最短路线及转折点。
对于此种题，我们应当果断选择……abandon。不对，是对称（毕竟这不仅关乎将军的体力，也和你的考试成绩直接挂钩）！
正解（图画的不好，并非在上）：关于对称至，关于对称于。连接、，与、分别交于、。这类题不算最难的，记住我前面提到的规律，不要光靠看图！
恭喜你，已经看到了造桥选址问题！
现在将军又回来了，乍一看和原来一样，实际上……河道扩宽了，将军现在需要造一座桥，而且还是得满足路线最短的条件！
好吧，其实将向上平移河的宽度（图中）至，就可以正常做了。具体怎么平移的，详见下图：
还有一种造桥选址，是在直线上取定长（说白了就是在河边建走廊）。还是老办法，平移对称加连线（其实就是把上一题横了过来），题目及解法如图所示（注意是由关于直线/动点对称而来）：
前面我提到的都是线段和最小问题，现在只剩最后一项知识点了，那就是将军饮马一眼看不出关系的兄弟：线段差（图中的）的最大/小值问题。
最小值非常简单，无论两点是否在同一侧，构造出等腰三角形，使得即可（求你了就当它是等腰三角形吧）。
而最大值需要分两种情况：同侧与异侧。同侧时，使、、三点共线结果最小，此时。而两点异侧时，要先对称至同侧。
虽然光看这些图很清楚，但当你真拿到题的时候（初二内容），很可能不是abandon就是瞎蒙（例如我）。好在将军饮马一般出选填题，毕竟过程没啥好写的，连的线段也不需要证明为什么最短（老师讲的）。
希望大家在看完这篇帖子之后能有所收获，并继续深入了解更多题型，也期待AC君能加个精~
最后夹带一点私货，欢迎入团，向AC远征！
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