#创作计划#虚数定义及应用

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yang(Python)

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2025-08-12 09:30:52

发布于：台湾

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1 虚数基础与常用公式

1.1 基本定义与原理

虚数是实数体系的扩展，引入了一个新的单位 ii，满足

i2=−1i^2 = -1

基于此，复数定义为形如

z=a+biz = a + bi

其中 a,ba,b 为实数，aa 是实部，bb 是虚部（不是 bibi）。

虚数使得二次方程 x2+1=0x^2 + 1 = 0 和 负数平方根有结果。

1.2 虚数的基本运算

  • 加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
  • 减法：(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
  • 乘法：(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
  • 共轭：z=a+bi,z−=a−biz=a+bi, z^- = a - bi
  • 模长：∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

2 虚数的几何常用公式与性质

2.1 欧拉公式

欧拉公式是复数领域的核心公式：

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

它将三角函数和指数函数联系起来。

2.2 复数乘法的几何解释

两个复数相乘，模长相乘，幅角相加：

z1z2=r1r2[cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2)]z_1 z_2 = r_1 r_2 \left[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)\right]

3 数学例题

3.1 例题1

计算 (3+4i)(1−2i)(3 + 4i)(1 - 2i) 的结果。 点我 👉[1]

3.2 例题2

已知复数 z=1+iz = 1 + i，求 zz 的模长和共轭复数。 点我 👉[2]

3.3 例题3，想做的做一下？


答案点我 👉[3]

不

要

偷

看

答

案

.

.

.

.

.

.

  1. 解： (3+4i)(1−2i)=3×1−3×2i+4i×1−4i×2i=3−6i+4i−8i2(3+4i)(1-2i) = 3 \times 1 - 3 \times 2i + 4i \times 1 - 4i \times 2i = 3 - 6i + 4i - 8i^2
    因为 i2=−1i^2 = -1，所以 =3−2i+8=11−2i= 3 - 2i + 8 = 11 - 2i ↩︎

  2. 解： ∣z∣=12+12=2|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} ，共轭复数为 z−=1−iz^- = 1 - i ↩︎

  3. 解法太长了，就不写过程了，答案是 17841784 ↩︎

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