一 . 导数是什么?
所谓导数,就是某个函数的斜率,如 y=2xy=2xy=2x 的导数是2,因为它是一条斜线,可以直接计算斜率,但是曲线的斜率比较难求,通常是这样定义的:
f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δxf'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} f′(x)=Δx→0lim Δxf(x+Δx)−f(x)
此时可以推出 y=nxy=nxy=nx 的导数是limΔx→0nx+nΔx−nxΔx=limΔx→0nΔxΔx=n\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{nx+n\Delta x-nx}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{n\Delta x}{\Delta x}=nΔx→0lim Δxnx+nΔx−nx =Δx→0lim ΔxnΔx =n
二 . 如何计算幂函数的导数
f(x)=xmf′(x)=limΔx→0(x+Δx)m−xmΔx=Cm0xm+Cm1xm−1Δx+Cm2xm−2Δx2+⋯+Δxm−xmΔx=Cm1xm−1+Cm2xm−2Δx+⋯=Cm1xm−1=mxm−1f(x)=x^m\\ f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{(x+\Delta x)^m-x^m}{\Delta x}=\frac{C^0_mx^m+C^1_mx^{m-1}\Delta x+C^2_mx^{m-2}\Delta x^2+\cdots+\Delta x^m-x^m}{\Delta
x}=C^1_mx^{m-1}+C^2_mx^{m-2}\Delta x+\cdots=C^1_mx^{m-1}=mx^{m-1} f(x)=xmf′(x)=Δx→0lim Δx(x+Δx)m−xm =ΔxCm0 xm+Cm1 xm−1Δx+Cm2 xm−2Δx2+⋯+Δxm−xm =Cm1 xm−1+Cm2 xm−2Δx+⋯=Cm1 xm−1=mxm−1