一 . 构造法
运用公理、定义、已知条件、已知定理证明定理，或直接给出算法、公式，也可以是直接给出反例
求证：ax2+bx+c=0,x=−b±b2−4ac2aax^2+bx+c=0,x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}ax2+bx+c=0,x=2a−b±b2−4ac
ax2+bx+c=0x2+bax+ca=0x2+2⋅b2ax+ca=0(x+b2a)2−b24a2+ca=0(x+b2a)2=b24a2−ca(x+b2a)2=b2−4ac4a2x+b2a=±b2−4ac2ax=−b±b2−4ac2a ax^2+bx+c=0\\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac ca=0\\ x^2+2\cdot\frac{b}{2a}x+\frac ca=0\\ (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\
(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\ x+\frac b{2a}=\frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} ax2+bx+c=0x2+ab x+ac =0x2+2⋅2ab x+ac =0(x+2ab )2−4a2b2 +ac =0(x+2ab )2=4a2b2 −ac (x+2ab )2=4a2b2−4ac x+2ab =2a±b2−4ac x=2a−b±b2−4ac
求证：任意两实数a、b里都有一个数c,使a<c<b
设c=12(a+b),就是a和b之间的一个数c=\frac12(a+b),就是a和b之间的一个数c=21 (a+b),就是a和b之间的一个数
求证：22n+12^{2^n}+122n+1不一定是素数：
解：n=5时，232+1=4294967297=641×6700417,是合数2^{32}+1=4294967297=641\times6700417,是合数232+1=4294967297=641×6700417,是合数
二 . 反证法
构造法很简单，但不是所有命题都是可以用构造法得出的，比如证明2\sqrt22 是无理数
反证法是先假设要证的命题不真，然后推出矛盾
求证：2\sqrt{2}2 是无理数
设2=pq两边平方再同乘q2得：p2=2q2p2有偶数个2因子，2q2却有奇数个2因子，矛盾！！！ 设\sqrt2=\frac pq\\ 两边平方再同乘q^2得：\\ p^2=2q^2\\ p^2有偶数个2因子，2q^2却有奇数个2因子，矛盾！！！ 设2 =qp 两边平方再同乘q2得：p2=2q2p2有偶数个2因子，2q2却有奇数个2因子，矛盾！！！
求证：没有最大的素数
如果有一个最大的素数P,那么P!+1 mod n≠0(n=2,3,5,7,11,13,⋯ ,P),得到P!+1是比P要大的素数，推出矛盾 如果有一个最大的素数P,那么P!+1\bmod n\neq0(n=2,3,5,7,11,13,\cdots,P),得到P!+1是比P要大的素数，推出矛盾 如果有一个最大的素数P,那么P!+1modn=0(n=2,3,5,7,11,13,⋯,P),得到P!+1是比P要大的素数，推出矛盾
