“蚂蚁圆柱问题”最优路径判别及解析

Lin.Zikang

2026-08-09 17:45:52

发布于：浙江

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创作者：YYF Link（此为转载，版权为YYF Link所有，原文出处）

本文研究蚂蚁在圆柱体表面从一点到其正对点（主视图最左下到最右上）的最短路径问题，通过将路径分解为底面弦与侧面展开图直线，建立总长度关于底面圆心角 θ的目标函数 L(θ)利用微分法求得驻点，通过二阶导数严格证明内部驻点均为局部极大值，从而确定全局最小值仅在区间端点取得。比较两端点路径长度，得到最短路径的判别准则。本文推导严谨，结论简洁明确。

一、问题溯源

有一个底面半径为 $r$ ，高为 $h$ 的圆柱， $A$ 是底面圆周上的一点，在主视图最左下角； $B$ 为顶面圆周上一点，在主视图最右上角。一只蚂蚁从 $A$ 出发，可在圆柱表面自由爬行，求其爬至 $B$ 点的最短路径。

二、确定路线

这个路线本质上是走完 $180^\circ$ 的圆周角，让蚂蚁绕到圆柱的另一边，并且克服圆柱的高。所以任何路线都可以被简化为"走 $180^\circ$ 圆心角 + 走高"两部分。因此可以排除所有多次进出端面（逆向走高）、在端面内绕行（逆向走圆心角）等非必要复杂路线。

假设路线在顶面走的圆心角是 $a$ ，在地面走的圆心角是 $b$ 。则侧面路线走的圆心角为 $180^\circ - a - b$ 。而对于圆柱，显然在 $180^\circ - a - b$ 不变时，在侧面的路径长度不变（圆心角定理，圆柱母线等长）。所以将 $a+b$ 的圆周角分别在顶面和底面走是毫无必要的。如图，这两条线路走过了相同圆心角，则侧面路线长度相等，但显然红色的线路更长。所以路线是唯一的：在底/顶面走一条弦，其余路线均在侧面。

三、表示总长度

设蚂蚁从 $A$ 沿底面某一条弦走到底面圆周上一点 $P$ ，再由 $P$ 沿侧面最短路径至 $B$ 。设底面圆心为 $O$ ，弧 $AP$ 的圆心角为 $\theta$ ，即 $\angle AOP = \theta$ （ $0 \le \theta \le \pi$ ，弧度制）。

如图为蚂蚁路线及圆柱体沿高 $PP'$ 切割的侧面展开图。图中 $P'B' = \widehat{P'B}$ ，则总长度 $L(\theta) = AP + PB'$ 。

计算底面弦长 $AP$ ：

$OA = OP = r$ ，在等腰 $\triangle AOP$ 中，顶角为 $\theta$ 。取 $AP$ 的中点 $M$ ，连结 $OM$ 。

因为等腰三角形三线合一，则 $\angle AOM = \frac{\theta}{2}$ 。

由正弦定义， $\sin\frac{\theta}{2} = \frac{AM}{r}$

$\therefore AM = r \sin\frac{\theta}{2}$

$\therefore AP = 2AM = 2r \sin\frac{\theta}{2}$

计算侧面长 $B'P'$ ：

$\because AC$ 为直径， $PP'$ 是圆柱的一条高

$\therefore$ 显然弧 $P'B$ 与弧 $PC$ 长度相等。

又 $\because AC$ 是直径

$\therefore$ 弧 $AP$ 与弧 $P'B$ 的度数之和为 $180^\circ$

$\because \angle AOP = \theta$

$\therefore \widehat{AP} = r\theta$ ， $\widehat{P'B} = r(\pi - \theta)$

$\therefore P'B' = r(\pi - \theta)$

$\therefore PB' = \sqrt{[r(\pi - \theta)]^2 + h^2}$

$\therefore$ 总长度 $L(\theta) = 2r \sin\frac{\theta}{2} + \sqrt{[r(\pi - \theta)]^2 + h^2}$ ， $\theta \in [0, \pi]$

(1)

四、求驻点

对 $\theta$ 求导（链式求导）：

$L'(\theta) = r\cos\frac{\theta}{2} - \frac{1}{2}[r^2(\pi - \theta)^2 + h^2]^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{d\theta}[r^2(\pi - \theta)^2 + h^2]$

$= r\cos\frac{\theta}{2} - \frac{1}{2\sqrt{r^2(\pi - \theta)^2 + h^2}} \cdot [-r^2 \cdot 2(\pi - \theta)]$

$= r\cos\frac{\theta}{2} - \frac{r^2(\pi - \theta)}{\sqrt{r^2(\pi - \theta)^2 + h^2}}$

(2)

令 $L'(\theta) = 0$ ，得方程：

$r\cos\frac{\theta}{2} - \frac{r^2(\pi - \theta)}{\sqrt{r^2(\pi - \theta)^2 + h^2}} = 0$

$\cos\frac{\theta}{2} = \frac{r(\pi - \theta)}{\sqrt{r^2(\pi - \theta)^2 + h^2}}$

(3)

五、判定驻点非全局最小值

1. 求二阶导数

第一项：原式 $= -\frac{r}{2}\sin\frac{\theta}{2}$

第二项：原式 $= \frac{r^2h^2}{[r^2(\pi - \theta)^2 + h^2]^{\frac{3}{2}}}$

$\therefore L''(\theta) = -\frac{r}{2}\sin\frac{\theta}{2} + \frac{r^2h^2}{[r^2(\pi - \theta)^2 + h^2]^{\frac{3}{2}}}$

(4)

2. 求解 $h$ 并代入

由 (3)：

$\frac{r(\pi - \theta)}{\sqrt{r^2(\pi - \theta)^2 + h^2}} = \cos\frac{\theta}{2}$

$r^2(\pi - \theta)^2 = \cos^2\frac{\theta}{2} \cdot [r^2(\pi - \theta)^2 + h^2]$

$r^2(\pi - \theta)^2 = \cos^2\frac{\theta}{2} \cdot [r^2(\pi - \theta)^2] + \cos^2\frac{\theta}{2} \cdot h^2$

$\cos^2\frac{\theta}{2} \cdot h^2 = r^2(\pi - \theta)^2 - \cos^2\frac{\theta}{2} \cdot [r^2(\pi - \theta)^2]$

$\cos^2\frac{\theta}{2} \cdot h^2 = r^2(\pi - \theta)^2\left(1 - \cos^2\frac{\theta}{2}\right)$

$\because \sin^2 x + \cos^2 x = 1$

$\therefore \cos^2\frac{\theta}{2} \cdot h^2 = r^2(\pi - \theta)^2\sin^2\frac{\theta}{2}$

$\because \frac{\sin^2\frac{\theta}{2}}{\cos^2\frac{\theta}{2}} = \tan^2\frac{\theta}{2}$

$\therefore h^2 = r^2(\pi - \theta)^2\tan^2\frac{\theta}{2}$

$\because h > 0$ ， $\theta \in (0, \pi)$

$\therefore h = r(\pi - \theta)\tan\frac{\theta}{2}$

(5)

将 (5) 代入 (4)：

$L''(\theta) = -\frac{r}{2}\sin\frac{\theta}{2} + \frac{r^2 \cdot r^2(\pi - \theta)^2\tan^2\frac{\theta}{2}}{[r^2(\pi - \theta)^2 + r^2(\pi - \theta)^2\tan^2\frac{\theta}{2}]^{\frac{3}{2}}}$

$L''(\theta) = -\frac{r}{2}\sin\frac{\theta}{2} + \frac{r^4(\pi - \theta)^2\tan^2\frac{\theta}{2}}{[r^2(\pi - \theta)^2(1 + \tan^2\frac{\theta}{2})]^{\frac{3}{2}}}$

$\because \tan^2 x + 1 = \sec^2 x$

$\therefore L''(\theta) = -\frac{r}{2}\sin\frac{\theta}{2} + \frac{r^4(\pi - \theta)^2\tan^2\frac{\theta}{2}}{[r^2(\pi - \theta)^2\sec^2\frac{\theta}{2}]^{\frac{3}{2}}}$

$\therefore L''(\theta) = -\frac{r}{2}\sin\frac{\theta}{2} + \frac{r^4(\pi - \theta)^2\tan^2\frac{\theta}{2}}{r^3(\pi - \theta)^3\sec^3\frac{\theta}{2}}$

$\therefore L''(\theta) = -\frac{r}{2}\sin\frac{\theta}{2} + \frac{r\tan^2\frac{\theta}{2}}{(\pi - \theta)\sec^3\frac{\theta}{2}}$

$\because \sec x = \frac{1}{\cos x}$ ， $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

$\therefore L''(\theta) = -\frac{r}{2}\sin\frac{\theta}{2} + \frac{r\sin^2\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{\pi - \theta} = r\sin\frac{\theta}{2}\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{\pi - \theta}\right)$

$\because \sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}\sin\theta$

$\therefore L''(\theta) = \frac{r\sin\frac{\theta}{2}}{2}\left(\frac{\sin\theta}{\pi - \theta} - 1\right)$

(6)

3. 证明全局最小

我们需要证明 $\theta \in (0, \pi)$ 时， $\frac{\sin\theta}{\pi - \theta} < 1$ ，即 $\sin\theta < \pi - \theta$

令 $g(\theta) = \pi - \theta - \sin\theta$ ，

则 $g'(\theta) = -1 - \cos\theta \le 0$

$\therefore g(\theta)$ 在 $(0, \pi)$ 上严格递减

且 $g(0) = \pi$ ， $g(\pi) = 0$

$\therefore$ 在 $(0, \pi)$ 上， $g(\theta) > 0$

$\therefore \pi - \theta - \sin\theta > 0$

即 $\pi - \theta > \sin\theta$

(7)

将 (7) 代入 (6)，则 $L''(\theta) < 0$ 。

$L$ 在闭区间 $[0, \pi]$ 上连续，所以由极值定理必取得全局最小值； $L$ 在开区间 $(0, \pi)$ 上可导，若全局最小值在某个内部点取得，那么该点应是全局最小点；由 Fermat 定理必须有 $L'(\theta) = 0$ 。因此， $L(\theta)$ 的全局最小值只能在区间端点取得。即路程最小时， $\theta$ 的值只能为 $0$ 或 $\pi$ 。

六、结论

端点 $\theta = 0$ ： $L(0) = \sqrt{\pi^2r^2 + h^2}$

端点 $\theta = \pi$ ： $L(\pi) = 2r + h$

令两者相等，得 $h = \frac{\pi^2 - 4}{4}r$

因此最终判别规则为：

$\left\{ \begin{array}{l} h > \frac{\pi^2 - 4}{4}r,\ \text{最短路径为螺旋线（仅走侧面），长度}\ \sqrt{\pi^2r^2 + h^2} \\ h < \frac{\pi^2 - 4}{4}r,\ \text{最短路径为折线（一段直径与一个高），长度}\ 2r + h \\ h = \frac{\pi^2 - 4}{4}r,\ \text{两条路径等长，均为最短} \end{array} \right.$

【预告】我们即将开始研究蚂蚁圆台问题，具体内容详见此贴。

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2026-08-04 来自浙江
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- 135****2980
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  Lin.Zikang
  这真的是二年级吗？我下学期5年级就做不出
  
  2026-08-04 来自上海
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- Hyss_zhy
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  135****2980
  用勾股定理
  
  2026-08-04 来自湖北
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- 135****2980
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  Hyss_zhy
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  2026-08-04 来自上海
  2
Lin.Zikang
关于如何发 $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ ：

$\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$

2026-07-27 来自浙江
16
- 小橘子🍊
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  Lin.Zikang
  $\text{\Huge\color{yellow}\fbox{顶！}}$
  
  2026-07-28 来自上海
  4
- 小橘子🍊
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  小橘子🍊
  
  2026-07-28 来自上海
  2
- 劳埃德·蒙哥马利·加满都
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  Lin.Zikang
  $\text{\Huge\color{blue}\fbox{顶！}}$
  
  2026-07-29 来自浙江
  2
Expected expr
这是还想上榜吗？（支持）

2026-07-27 来自江西
7
- Lin.Zikang
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  Expected expr
  顶
  
  2026-07-27 来自浙江
  2
- 135****2980
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  Expected expr
  一个旧的，一个新的都上榜了。
  
  2026-07-31 来自上海
  2
- peachKING
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  Expected expr
  互关
  
  2026-08-04 来自北京
  0
Hyss_zhy
评论你随便删

2026-08-02 来自湖北
5
Lin.Zikang
这件事情我原谅你，但是我也纳闷，这篇文章明明有这么多明显的人为书写的迹象，许多风格甚至与AI的大相径庭。那为什么还不止一个人质疑AI生成呢？所以我大抵上觉得这些如此评价的人，大概都没仔细，完整的阅读这篇文章，所以才妄下断语。我认为如今社会发展的同时，这也是人们必须要反省的。

2026-08-03 来自浙江
4
- Lin.Zikang
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  Lin.Zikang
  要知道，小学二年级联合会上的每一篇文章都是通过严格的审核的，所以可信度绝对是高的。
  
  2026-08-03 来自浙江
  2
- sczans.
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  Lin.Zikang
  qpzc
  
  2026-08-03 来自河南
  1
- Lin.Zikang
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  Lin.Zikang
  @Eucatastrophe‌
  
  2026-08-03 来自浙江
  0
jcx106
找规律=阅读理解

2026-08-03 来自浙江
3
TanorWhileBai
这条评论的作用是让工具大全上榜一而不被A+B没了顶下去

2026-08-01 来自浙江
3
WeiChenrui（已退站）
大家加把劲儿！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$

2026-07-31 来自浙江
3
- 135****8986
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  WeiChenrui（已退站）
  $\text{\Huge\color{red}\fbox{助你破}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{鼎}}$ $\text{\Huge\color{red}\fbox{!}}$
  
  2026-08-01 来自广东
  1
- ༺ཌༀ༒陈启彬CQB༒ༀ༻
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  135****8986
  hyw?疯了吧？
  
  2026-08-02 来自福建
  1
- ༺ཌༀ༒陈启彬CQB༒ༀ༻
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  135****8986
  我顶你￥%……&……%￥%%￥#￥%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#@# $%^&^%$ %^{$%^&^%$#@%……%￥#@#$%^&^%$%} $%^&^%$ #@%……%￥#
  
  2026-08-02 来自福建
  2
jcx106
$\Huge\color{white}\fbox{顶}$

2026-07-27 来自浙江
3
- jcx106
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  jcx106
  $\Huge\color{white}顶！！！$
  
  2026-07-27 来自浙江
  1
- WeiChenrui（已退站）
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  jcx106
  zczc!!!
  
  2026-07-31 来自浙江
  0
- Zorange(ZC)
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  WeiChenrui（已退站）
  ???
  
  2026-08-05 来自浙江
  0
199****0937
$\text{\Huge\color{red}\fbox{顶！}}$

2026-08-04 来自江苏
2
- 199****0937
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  199****0937
  $\text{\Huge\color{orange}\fbox{顶！}}$
  
  2026-08-04 来自江苏
  1
- 199****0937
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  199****0937
  $\text{\Huge\color{yellow}\fbox{顶！}}$
  
  2026-08-04 来自江苏
  1
- 199****0937
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  199****0937
  $\text{\Huge\color{green}\fbox{顶！}}$
  
  2026-08-04 来自江苏
  1
sczans.
$\text{\Huge\color{green}\fbox{亲身经历告诉你指甲被磕掉的经历}}$

2026-08-03 来自河南
2
FanBoys
数学大佬啊%%%
希望大佬能再挖一下拉格朗日的其他成就，比如拉格朗日乘数法等

2026-08-02 来自安徽
2
- FanBoys
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  FanBoys
  居然还是钻石+出题人%%%
  orz
  
  2026-08-02 来自安徽
  0
- 🥥
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  FanBoys
  他那个钻石是靠AI拿的……
  
  2026-08-02 来自上海
  0
- Lin.Zikang
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  🥥
  666演都不演了在这边造谣。你觉得ACGO官方不会查AI的吗？
  
  2026-08-02 来自浙江
  0
sczans.
我不认为是笑话
刚好我正在读

2026-08-02 来自河南
2
- Lin.Zikang
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  sczans.
  谢谢！
  
  2026-08-02 来自浙江
  1
TanorWhileBai
这条评论的作用是让工具大全上榜一而不被A+B没了顶下去

2026-08-01 来自浙江
2
- Lin.Zikang
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  TanorWhileBai
  ？
  
  2026-08-01 来自浙江
  1
- sczans.
  回复
  Lin.Zikang
  qpzc
  
  2026-08-03 来自河南
  0
TanorWhileBai
这条评论的作用是让工具大全上榜一而不被A+B没了顶下去

2026-08-01 来自浙江
2
TQjc
ZDZL社区全新创作者激励正式上线，优质帖子可领取5-15元的奖励！

2026-08-01 来自湖北
2
Expected expr
d d d
2026-07-31 来自江西
2
- 135****2980
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  Expected expr
  $\text{\Huge\color{black}\fbox{ d d d }}$
  
  2026-08-02 来自上海
  0
J长
d

2026-07-27 来自浙江
2
- Lin.Zikang
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  J长
  谢谢支持！
  
  2026-07-27 来自浙江
  1
Lin.Zikang

1周前来自江西
1
starasdflight
其实我还挺好奇，为什么中间过程那么多

1周前来自广东
1
- starasdflight
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  starasdflight
  勾股定理的妙用啊
  
  1周前来自广东
  1
- starasdflight
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  starasdflight
  $\text{\Huge\color{cyan}\fbox{顶！}}$
  
  1周前来自广东
  0
- Lin.Zikang
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  starasdflight
  是的，理论上做题只要有结论就行了。但是课本少了关键的理论证明——凭什么只需要分类讨论这两种走法？于是这篇论文就告诉了我们答案。
  
  1周前来自江西
  0