一道题

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Zzzzzzsr（对象是子涵版）
出道萌新出题人代码纠察员

2026-06-15 20:46:04

发布于：广东

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初一数学期末测试题

我们知道，开方运算可以写成乘方形式，即对于 a≥0a \geq 0，n≠0n \neq 0，有 an=a1n\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}。

一、简单运算

已知等式 54=Q14\sqrt[4]{5} = Q^{\frac{1}{4}}，请求出 QQ 的立方根的相反数_______________。

二、进阶证明

求证：对于 a≥0a \ge 0，n>0n > 0，有

an=ann\sqrt[n]{a} = \sqrt[\sqrt n]{\sqrt[\sqrt n]{a}}

三、综合应用

已知实数 x,y,nx, y, n 满足 x≠0x \neq 0，y>0y > 0，n>0n > 0，且

{3x+y=5−4n2x+5y=10−6n2026x=2026n⋅y1n⋅y−y\begin{cases} 3x + y = 5 - 4n \\[4pt] 2x + 5y = 10 - 6n \\[4pt] \sqrt[x]{2026} = \sqrt[-\sqrt{y}]{ \sqrt[\sqrt{\frac{1}{n}} \cdot \sqrt{\sqrt y}]{ \sqrt[\sqrt{n} \cdot \sqrt{\sqrt y}]{2026} } } \end{cases}

求 x,y,nx, y, n 的值。

参考答案

一、

Q=5Q = 5，QQ 的立方根为 53\sqrt[3]{5}，相反数为 −53-\sqrt[3]{5}。

二、

由根式与指数互化：

an=a1/n\sqrt[n]{a} = a^{1/n}

ann=(a1/n)1/n=a1/(n⋅n)=a1/n\sqrt[\sqrt n]{\sqrt[\sqrt n]{a}} = \bigl(a^{1/\sqrt n}\bigr)^{1/\sqrt n} = a^{1/(\sqrt n \cdot \sqrt n)} = a^{1/n}

因此 an=ann\sqrt[n]{a} = \sqrt[\sqrt n]{\sqrt[\sqrt n]{a}} 成立。

三、

由根式方程化简得 x+y=0x + y = 0，即 y=−xy = -x。

代入前两个方程：

{3x+(−x)=5−4n2x+5(−x)=10−6n  ⟹  {2x=5−4n−3x=10−6n\begin{cases} 3x + (-x) = 5 - 4n \\[4pt] 2x + 5(-x) = 10 - 6n \end{cases} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 2x = 5 - 4n \\[4pt] -3x = 10 - 6n \end{cases}

由第一式得 n=5−2x4n = \dfrac{5 - 2x}{4}，代入第二式：

−3x=10−6⋅5−2x4=10−30−12x4=10−7.5+3x=2.5+3x-3x = 10 - 6 \cdot \frac{5 - 2x}{4} = 10 - \frac{30 - 12x}{4} = 10 - 7.5 + 3x = 2.5 + 3x

−6x=2.5⇒x=−512-6x = 2.5 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{5}{12}

y=−x=512,n=5−2(−512)4=5+564=3564=3524y = -x = \frac{5}{12},\qquad n = \frac{5 - 2(-\frac{5}{12})}{4} = \frac{5 + \frac{5}{6}}{4} = \frac{\frac{35}{6}}{4} = \frac{35}{24}

因此 x=−512,  y=512,  n=3524x = -\dfrac{5}{12},\; y = \dfrac{5}{12},\; n = \dfrac{35}{24}。

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