有没有大佬数学比较好的(想刷罐也行)？

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复仇者_天之神_张起灵
出道萌新倔强青铜快乐小狗

2026-02-02 13:07:09

发布于：浙江

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本蒟蒻还是搞不懂。在做一些高次的不等式的最值问题时，构造拉格朗日函数，求最值的一些注意事项？，以及解法，求教(各位能不能帮我刷刷热度，不然都没人看得见这条帖子)
原题：x²+y²=36,3x+4y的最大值(虽然柯西不等式，向量也能做，但是我想用这种方法写)
꧁神秘传送门꧂

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全部评论 154

  • userId_undefined
    ༺ཌༀཉི༒白·羊༒༃ༀད༻
    出道萌新时空双修者传道者荣耀黄金GESP6级CSP-J一等奖

    具体过程如下：
    目标函数：f(x,y)=3x+4yf(x,y)=3x+4y
    约束条件：g(x,y)=x2+y2−36=0g(x,y)=x^2+y^2-36=0
    一、
    代入拉格朗日函数：L(x,y,λ)=f(x,y)−λ⋅g(x,y)L(x,y,λ)=f(x,y)−\lambda⋅g(x,y)，得：

    L(x,y,λ)=3x+4y−λ(x2+y2−36)L(x,y,λ)=3x+4y−\lambda(x^2+y^2−36)

    其中 λ\lambda 为拉格朗日乘数
    二、
    分别对 x,y,λx,y,\lambda 求一阶偏导，再令偏导等于 00，得到方程组：

    {∂L∂x=3−2λx=0∂L∂y=4−2λy=0∂L∂λ=−(x2+y2−36)=0\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x}=3-2\lambda x=0 \\ \frac{\partial L}{\partial y}=4-2\lambda y=0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(x^2+y^2-36)=0 \end{cases}

    ⇓\Downarrow

    {x=32λ(λ≠0)y=2λx2+y2=36\begin{cases} x=\frac{3}{2\lambda} (\lambda \neq 0)\\ y=\frac{2}{\lambda} \\ x^2+y^2=36 \end{cases}

    三、
    将1、2式代入3式，化简得λ=±512\lambda=\pm \frac{5}{12}
    四、
    分类讨论

    • 当λ=512\lambda=\frac{5}{12}时
      x=185,y=245⇒f(x,y)=30x=\frac{18}{5},y=\frac{24}{5}\Rightarrow f(x,y)=30
    • 当λ=−512\lambda=-\frac{5}{12}时
      x=−185,y=−245⇒f(x,y)=−30x=-\frac{18}{5},y=-\frac{24}{5}\Rightarrow f(x,y)=-30

    五、
    最大值为 3030 、最小值为 −30-30
    六、
    ps：可以用参数方程法（圆的参数方程）验证，具体如下
    已知约束条件 x2+y2=36x^2+y^2=36 是圆心在原点，半径 r=6r=6 的圆，因此设圆的参数方程：

    {x=6cos⁡θy=6sin⁡θ(θ∈[0,2π))\begin{cases} x=6\cos\theta \\ y=6\sin\theta \end{cases} \quad (\theta\in[0,2\pi))

    将其代入目标函数 3x+4y3x+4y：

    3x+4y=3×6cos⁡θ+4×6sin⁡θ=18cos⁡θ+24sin⁡θ\begin{align} 3x+4y &= 3\times6\cos\theta+4\times6\sin\theta \\ &= 18\cos\theta+24\sin\theta \end{align}

    根据辅助角公式 acos⁡θ+bsin⁡θ=a2+b2sin⁡(θ+φ)a\cos\theta+b\sin\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\varphi)（其中 tan⁡φ=ab\tan\varphi=\frac{a}{b}），化简得：

    18cos⁡θ+24sin⁡θ=182+242sin⁡(θ+φ)18\cos\theta+24\sin\theta=\sqrt{18^2+24^2}\sin(\theta+\varphi)

    计算系数：

    182+242=324+576=900=30\sqrt{18^2+24^2}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30

    因此：

    3x+4y=30sin⁡(θ+φ)3x+4y=30\sin(\theta+\varphi)

    由于正弦函数的值域为 [−1,1][-1,1]，故 3x+4y3x+4y 的最大值为 3030，最小值为−30-30。

    2026-01-28 来自 上海

    21
  • userId_undefined
    Ymh
    CSP-J一等奖CSP-J二等奖

    L=3x+4y+λ(x2+y2−36)\mathcal{L} = 3x+4y + \lambda (x^2+y^2-36)

    ∂L∂x=3+2λx=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 3 + 2\lambda x = 0

    ∂L∂y=4+2λy=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 4 + 2\lambda y = 0

    得

    x=−32λ,y=−2λx = -\frac{3}{2\lambda}, \quad y = -\frac{2}{\lambda}

    代入 x2+y2=36x^2 + y^2 = 36：

    94λ2+4λ2=9+164λ2=254λ2=36\frac{9}{4\lambda^2} + \frac{4}{\lambda^2} = \frac{9+16}{4\lambda^2} = \frac{25}{4\lambda^2} = 36

    254λ2=36⇒λ2=25144⇒λ=±512\frac{25}{4\lambda^2} = 36 \quad\Rightarrow\quad \lambda^2 = \frac{25}{144} \quad\Rightarrow\quad \lambda = \pm \frac{5}{12}

    取 λ=−512\lambda = -\frac{5}{12} 使 3x+4y3x+4y 最大（因为此时 x,x, 与系数同号）：

    x=−32⋅(−512)=32⋅125=185x = -\frac{3}{2 \cdot (-\frac{5}{12})} = \frac{3}{2} \cdot \frac{12}{5} = \frac{18}{5}

    y=−2(−512)=2⋅125=245y = -\frac{2}{(-\frac{5}{12})} = 2 \cdot \frac{12}{5} = \frac{24}{5}

    代入得最大值为：

    3⋅185+4⋅245=54+965=1505=303 \cdot \frac{18}{5} + 4 \cdot \frac{24}{5} = \frac{54+96}{5} = \frac{150}{5} = 30

    2026-01-29 来自 广东

    13
  • userId_undefined
    ‮c滚
    2月全勤卷王小有名气时间刺客时空双修者维度操控者荣耀黄金

    为了罐头，点赞+评论

    2026-01-27 来自 浙江

    11
  • userId_undefined
    𝓐𝓘𝓮𝓻
    封号
    出道萌新小有名气荣耀黄金快乐小狗时空双修者

    30

    2026-01-27 来自 浙江

    9
  • userId_undefined
    传奇王者
    出道萌新时空双修者进制转换师俄罗斯套娃大师造物者贪心·贪心尝试者

    hj

    2026-01-27 来自 浙江

    5
  • userId_undefined
    复仇者_天之神_张起灵
    出道萌新倔强青铜快乐小狗

    ddd

    2026-01-26 来自 浙江

    4
  • userId_undefined
    复仇者_天之神_张起灵
    出道萌新倔强青铜快乐小狗

    ddd

    2026-01-26 来自 浙江

    4
  • userId_undefined
    复仇者_天之神_张起灵
    出道萌新倔强青铜快乐小狗

    ddd

    2026-01-26 来自 浙江

    4
  • userId_undefined
    复仇者_天之神_张起灵
    出道萌新倔强青铜快乐小狗

    dddd

    2026-01-25 来自 浙江

    4
  • userId_undefined
    Grapher
    题解仙人传道者出题人代码纠察员

    ？你这求助问了个啥，一点也不具体，倒像是随便搜了些知识点装 逼

    2026-01-24 来自 浙江

    4
  • userId_undefined
    kevin
    出道萌新倔强青铜

    d

    2026-01-31 来自 青海

    3
  • userId_undefined
    kevin
    出道萌新倔强青铜

    d

    2026-01-31 来自 青海

    3
  • userId_undefined
    kevin
    出道萌新倔强青铜

    d

    2026-01-31 来自 青海

    3
  • userId_undefined
    stay at home
    出道萌新时间刺客倔强青铜

    ？
    看不懂思密达。

    2026-01-28 来自 浙江

    3
  • userId_undefined
    复仇者_天之神_张起灵
    出道萌新倔强青铜快乐小狗

    dddd

    2026-01-25 来自 浙江

    3
  • userId_undefined
    复仇者_天之神_张起灵
    出道萌新倔强青铜快乐小狗

    ddd

    2026-01-25 来自 浙江

    3
  • userId_undefined
    x__shluffevgopln
    时空双修者11月全勤卷王12月全勤卷王进制转换师多键裁决者快排信徒→排序之神

    ddd

    2026-01-25 来自 浙江

    3
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    x__shluffevgopln
    时空双修者11月全勤卷王12月全勤卷王进制转换师多键裁决者快排信徒→排序之神

    ddd

    2026-01-25 来自 浙江

    3
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    x__shluffevgopln
    时空双修者11月全勤卷王12月全勤卷王进制转换师多键裁决者快排信徒→排序之神

    ddd

    2026-01-25 来自 浙江

    3
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    x__shluffevgopln
    时空双修者11月全勤卷王12月全勤卷王进制转换师多键裁决者快排信徒→排序之神

    ddd

    2026-01-25 来自 浙江

    3

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