#创作计划# 三角形的正弦与余弦(讲解)

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Lexore_

小有名气8月全勤卷王时空双修者题解仙人快乐小狗

2025-09-01 17:48:07

发布于：浙江

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7月26号的帖子，今天居然火了

求赞！！！（点赞的全家身体健康、万事如意！！！

故事的起点：

先感谢一下忘川秋库提出宝贵意见，帮他宣一下团，已更改完成

再帮滚蛋吧c++宣一下团

那么先切入正题讲解 ：

一. 正弦定理 （适用于任何三角形）

定理描述 ：

在任一三角形中，‌每条边的长度与其对角的正弦值之比恒为常数‌，且该常数等于三角形外接圆的直径（2 RR）。

公式描述 ：

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

  • 注： aa,bb,cc: 三角形三边长度 （分别对角 AA,BB,CC）,RR : 三角形外接圆半径

核心应用场景 ：

  1. ‌ 已知两角一边求其他边‌‌（ASA/AAS条件）

    • 例 ：∠B=35°\angle B= 35°，∠C=75°\angle C= 75° , b=10b=10 , 求 aa:

asin⁡70°=10sin⁡35°⇒a=10⋅70sin⁡35°≈16.38\frac{a}{\sin 70°}=\frac{10}{\sin 35°} ⇒ a=10 ⋅\frac{70}{\sin 35°} ≈ 16.38

  1. ‌ 求外接圆半径‌：
  • R=a2sin⁡A（已知边及其对角）R=\frac{a}{2\sin A} （已知边及其对角）

二、余弦定理（适用于任意三角形）

定理描述 ：

三角形中，‌任意一边的平方等于另两边的平方和，减去这两边与其夹角余弦乘积的两倍‌。

公示表述 ：

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos C

  • 对称形式 （其他角度）

a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A
b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2=a^2+c^2-2ac\cos B

核心应用场景：

  1. ‌ 已知两边及其夹角求第三边‌（SAS条件）
  • 例 : 已知 a=5,b=7,∠C=60°a=5,b=7,\angle C=60°,求 cc

c2=52+72−2⋅5⋅7⋅cos⁡60°=20+49−70⋅0.5=39⇒c=39≈6.24c^2=5^2+7^2-2⋅5⋅7⋅\cos60°=20+49-70⋅0.5=39 ⇒ c=\sqrt{39}≈6.24

  1. ‌ 已知三边求角度‌（SSS条件）
  • cosC=a2+b2+c2 2abcos C= \frac{a^2+b^2+c^2}{\ 2ab}

三、两大定理对比与选择策略

‌场景特征 优先选择定理 ‌原因
已知 ‌两角+任意边 正弦定理 直接比例关系求解
已知 ‌两边+夹角‌ (SAS) 余弦定理 直接计算第三边
已知 ‌三边‌ (SSS) 余弦定理 反求角度唯一解
已知 ‌两边+一对角‌ (SSA) 正弦定理 可能双解（需验证钝角/锐角）

四 ：意思讲解

‌sin : 正弦值是在直角三角形中，对边的长比上斜边的长的值。 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

cos : 余弦是一种三角函数。锐角的余弦被定义为其在直角三角形中的邻边与斜边的比值。余弦与其它三角函数有着密切的关系。

相信爱套公式的你已经懂了。

OK，回到开始，先放出题目。

(I) 求边AB的长：

已知 △ABC\triangle ABC 周长为 2+1\sqrt{2}+1,且 sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡C\sin A+\sin B=\sqrt{2}\sin C。
由正弦定理，得 a+b=2ca+b=\sqrt{2} c
结合周长公式 a+b+c=2+1a+b+c=\sqrt{2}+1,解得 c=AB=1c=AB=1

(II) 求角C的度数：

已知 △ABC\triangle ABC 面积为 sin⁡C\sin C，由面积公式得 12absin⁡C=sin⁡C\frac{1}{2}ab\sin C=\sin C,即 ab=2ab=2。

但结合(I)中结论和 a+b=2c=2a+b=\sqrt{2}c=\sqrt{2},可获得 a2+b2+2ab=2+4=6a^2+b^2+2ab=2+4=6,且 a2+b2−2ab=c2=1a^2+b^2-2ab=c^2=1
联立解得 a2+b2=72a^2+b^2=\frac{7}{2},进而求得 cos⁡C=a2+b2−c22ab=12\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{1}{2}
所以，∠C=60°\angle C=60°

支线任务

（翻评论区能找到）

先看题：

  • 已知 sin⁡C=3\sin C=3 和 DB=6DB=6,且根据正弦函数的定义，我们有 sin⁡C=对边斜边=DBDC\sin C=\frac{对边}{斜边}=\frac{DB}{DC}
  • 带入已知条件，得到方程 6DC=3\frac{6}{DC}=3，解出方程，变成了 DC=63=2DC=\frac{6}{3}=2
  • 则 DCDC 长度为 22 （不确定答案准确性，还得以实际答案为准）

若讲解内有错误，请提出问题所在，若讲解不好，请提出您宝贵的意见，谢谢了

大家能关注我吗

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