原题链接：石头剪刀布（easy ver.）石头剪刀布（hard ver.）
对于样例 x=1x=1x=1，我的理解如下：
因为要 恰好 达到 111 分，所以只可能是一次平局
可能是一局达到平局，期望为 13×1\dfrac{1}{3}\times131 ×1
可能是两局，第一局输了没有得分，第二局平局，期望为 13×13×2\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\times231 ×31 ×2
可能是三局，前两局输了没有得分，第三局平局，期望为 (13)3×3(\dfrac{1}{3})^3\times3(31 )3×3
可能是四局，前三局输了没有得分，第四局平局，期望为 (13)4×3(\dfrac{1}{3})^4\times3(31 )4×3
可能是……
因此，使得 x=1x=1x=1 的期望局数为 E=13×1+(13)2×2+(13)3×3+⋯E=\dfrac{1}{3}\times1+(\dfrac{1}{3})^2\times2+(\dfrac{1}{3})^3\times3+\cdotsE=31 ×1+(31 )2×2+(31 )3×3+⋯
化简：
E=∑i=1∞i⋅(13)iE=\sum_{i=1}^{\infty}i\cdot(\dfrac{1}{3})^i E=i=1∑∞ i⋅(31 )i
明显有：
∑i=1∞(13)i<E<∑i=1∞2i−1(13)i\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i<E<\sum_{i=1}^{\infty}2^{i-1}(\dfrac{1}{3})^i i=1∑∞ (31 )i<E<i=1∑∞ 2i−1(31 )i
令 A=∑i=1∞(13)i, B=∑i=1∞2i−1(13)i\displaystyle A=\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i,\,\,B=\sum_{i=1}^{\infty}2^{i-1}(\dfrac{1}{3})^iA=i=1∑∞ (31 )i,B=i=1∑∞ 2i−1(31 )i
先考虑化简 AAA
左右两边同时乘上 13\dfrac{1}{3}31 ，得到：
13A=13∑i=1∞(13)i=∑i=2∞(13)i\dfrac{1}{3}A=\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i=\sum_{i=2}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i 31 A=31 i=1∑∞ (31 )i=i=2∑∞ (31 )i
错位相减：
A−13A=∑i=1∞(13)i−∑i=2∞(13)iA-\dfrac{1}{3}A=\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i-\sum_{i=2}^{\infty}(\dfrac{1}{3})^i A−31 A=i=1∑∞ (31 )i−i=2∑∞ (31 )i
化简：
23A=13\dfrac{2}{3}A=\dfrac{1}{3} 32 A=31
因此：
A=12A=\dfrac{1}{2} A=21
接着考虑化简 BBB
先对其进行变形：
B=∑i=1∞2i−1(13)i=13∑i=1∞(23)i−1=13∑i=0∞(23)iB=\sum_{i=1}^{\infty}2^{i-1}(\dfrac{1}{3})^i=\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^{i-1}=\dfrac{1}{3}\sum_{i=0}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i B=i=1∑∞ 2i−1(31 )i=31 i=1∑∞ (32 )i−1=31 i=0∑∞ (32 )i
左右同时乘上 23\dfrac{2}{3}32 ：
23B=13∑i=1∞(23)i\dfrac{2}{3}B=\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i 32 B=31 i=1∑∞ (32 )i
错位相减：
B−23B=13∑i=0∞(23)i−13∑i=1∞(23)iB-\dfrac{2}{3}B=\dfrac{1}{3}\sum_{i=0}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i-\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{\infty}(\dfrac{2}{3})^i B−32 B=31 i=0∑∞ (32 )i−31 i=1∑∞ (32 )i
化简：
13B=13×1\dfrac{1}{3}B=\dfrac{1}{3}\times1 31 B=31 ×1
因此：
B=1B=1 B=1
所以，有 12<E<1\dfrac{1}{2}<E<121 <E<1
请问一下为什么原题中 x=1x=1x=1 时的期望值会是 333
@不会C++的一只屑生姜
如果评论区有大佬看出来我推到过程中有什么问题，欢迎指出
